2015届山东省滕州市滕州一中新校高三3月份模拟考试

数学（理）试题

1．i为虚数单位，
, 则
的共轭复数为 （ ）

A．2-i B．2+i C．-2-i D．-2+i

2．已知集合
=（ ）。

A．
B．

C．
D．

3．某几何体的三视图如图,（其中侧视图中的圆弧是半圆）,则该几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

4． 曲线
在
处的切线方程为

A．
B．

C．
D．

5．设
、
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若
则
B．若
则

C．若
则
D．若
则

6．设
其中实数
满足
，若
的最大值为
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

7．函数

的部分图象如图所示，若
，且
，则

A．
　 　 B．
C．
　　 D．

8．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施
个程序，其中程序
只能出现在第一或最后一步，程序
和
在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有

A．
种 B．
种 C．
种　 D．
种

9．函数
的图象大致是

A B C D

10．如图，从点
发出的光线，沿平行于抛物线
的对称轴方向射向此抛物线上的点
，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点
，再经抛物线反射后射向直线
上的点
，经直线反射后又回到点
，则
等于

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知向量
，
，若
，则实数
______;

12．圆
的圆心到直线
的距离
;

13．如图是某算法的程序框图，若任意输入
中的实数
，则输出的
大于
的概率为 ;

14．已知
均为正实数，且
，则
的最小值为__________；

15．如果对定义在
上的函数
，对任意两个不相等的实数
，都有
，则称函数
为“
函数”．给出下列函数①
;②
;③
;④
．以上函数是“
函数”的所有序号为 ．

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量
，
，
．

（Ⅰ）求函数
的单调递减区间；

（Ⅱ）在
中,
分别是角
的对边,
,
,若
，求
的大小．

17．（本小题满分12分）

袋中装有大小相同的黑球和白球共
个，从中任取
个都是白球的概率为
．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取
个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用
表示取球终止时取球的总次数．

（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量
的概率分布及数学期望
．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中,
面
，
、
分别为
、
的中点，
，
．

（Ⅰ）证明：
∥面
；

（Ⅱ）求面
与面
所成锐角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

在数列

中，其前
项和为
，满足
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）设
（
为正整数）,求数列
的前
项和
．

20．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小值；

（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间．设
，试问函数
在
上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

设
,
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过
作倾斜角为
的直线交椭圆
于
,
两点,
到直线
的距离为
,连接椭圆
的四个顶点得到的菱形面积为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知点
，设
是椭圆
上的一点，过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求
的取值范围；

（Ⅲ）作直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值．

2015届山东省滕州市滕州一中新校高三3月份模拟考试

数学（理）试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

C A D A D B D C D B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．
13．
14．
15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

=
…………4分

所以
递减区间是
……5分

（Ⅱ）由
和
得:
……………6分

若
，而

又
,所以

因为
，所以

若
，同理可得：
，显然不符合题意，舍去． …9分

所以
……………………10分

由正弦定理得:
……………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设袋中原有
个白球，则从
个球中任取
个球都是白球的概率为
…2分

由题意知
，化简得
．

解得
或
（舍去）……………………5分

故袋中原有白球的个数为
……………………6分

（Ⅱ）由题意，
的可能取值为
．

；
；

；
．

所以取球次数
的概率分布列为：























……………10分

所求数学期望为
…………………12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）因为
、
分别为
、
的中点，

所以
∥
……………………2分

因为
面
，
面

所以
∥面
……………………4分

（Ⅱ）因为

所以

又因为
为
的中点

所以

所以

得
，即
……………6分

因为
，所以

分别以
为
轴建立坐标系

所以

则
………8分

设
、
分别是面
与面
的法向量

则
，令

又
，令
……………11分

所以
……………12分

19．（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）由题设得:
,所以

所以

……………2分

当
时，
,数列
是
为首项、公差为
的等差数列

故
．……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:
……………6分

……………9分

设

则

两式相减得：

整理得：
……………11分

所以
……………12分

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）求导数，得

令
，解得
…………2分

当
时，
，所以
在
上是减函数；

当
时，
，所以
在
上是增函数。

故
在
处取得最小值
…………6分

（Ⅱ）函数
在
上不存在保值区间,证明如下：

假设函数
存在保值区间
,

由
得：

因
时，
，所以
为增函数，所以

即方程
有两个大于
的相异实根 ……………9分

设

因
，
，所以
在
上单增

所以
在区间
上至多有一个零点 ……………12分

这与方程
有两个大于
的相异实根矛盾

所以假设不成立，即函数
在
上不存在保值区间． ……………13分

21．（本小题满分14分）

解:（Ⅰ）设
,
的坐标分别为
,其中

由题意得
的方程为:

因
到直线
的距离为
,所以有
,解得
……………2分

所以有
……①

由题意知:
,即
……②

联立①②解得:

所求椭圆
的方程为
……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆
的方程为

设
,
，由于
,所以有

……………7分

又
是椭圆
上的一点,则

所以

解得：
或
……………9分

（Ⅲ）由
, 设

根据题意可知直线
的斜率存在，可设直线斜率为
,则直线
的方程为

把它代入椭圆
的方程,消去
,整理得:

由韦达定理得
,则
,

所以线段
的中点坐标为

（1）当
时, 则有
,线段
垂直平分线为
轴

于是

由
,解得:
……………11分

（2） 当
时, 则线段
垂直平分线的方程为

因为点
是线段
垂直平分线的一点

令
,得:

于是

由
,解得:

代入
,解得:

综上, 满足条件的实数
的值为
或
． ……………14分

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