（考试内容：全部内容）

总分：150分，考试时间：120分钟．

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．

1．i是虚数单位，若复数z满足
，则复数z的实部与虚部的和是 （ ）

A．0 B．-1 C．1 D．2

2. 已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
（ ）

A ．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

3．设
，则“
”是“
”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为　(　　)

A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π

6．已知平面上三个点A、B、C满足
，则
的值等于 （ ）

A．25 B．24 C．-25 D．-24

7.设x，y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，

则
的最小值为( ).

A.
B.
C.
D. 4

8.已知函数f(x)＝ 2x (x≥2) 则f(log45)等于( )

f(x+2)(x<2)，

A. B.2 C.3 D.4

9.设m∈N*，F（m）表示log2m的整数部分，则F（210＋1）＋F（210＋2）＋F（210＋3）＋…＋F（211）的值为 （ ）

A．10×210 B．10×210＋1 C．10×210＋2 D．10×210－1

10. 形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )

A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题（本大题共6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。）

（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前二题记分）

11.如图，半径为2的⊙O中，
，D为OB的中点，

AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为 。

12．在极坐标系中，曲线
：
，曲线
，

若曲线
与曲线
交于A、B两点，则|AB|=________.

13．若关于的不等式
的解集非空，则实数的取值范围是 。

（二）必做题（14~16题）

14. 若双曲线－＝1 的离心率为，则其渐近线方程为

15． 设
、
分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时
且

，则不等式
的解集为 ．

16．数列
的前n项和为
，且数列
的各项按如下规则排列：

则
= ，若存在正整数k，使
，则k= 。

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.

(1)求索道AB的长；

(2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

18．（本小题满分12分） 甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．

（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；

（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量
，求
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图5，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，是
的中点．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成的角和
与平面
所成的角相等，求四棱锥
的体积．

20. （本题满分13分） 设集合W是满足下列两个条件的无穷数列
的集合：①对任意
，
恒成立；②对任意
，存在与n无关的常数M，使
恒成立．

（1）若
是等差数列，
是其前n项和，且
试探究数列
与集合W之间的关系；

（2）设数列
的通项公式为
，且
，求M的取值范围．

21. (本题满分13分) 设椭圆C1：
的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：
与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）设M（0，
），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求
面积的最大值．

22．（本小题满分13分）已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调递增区间;

(Ⅱ)若对一切实数
,都有
恒成立,求的取值范围.

(Ⅲ)求证:
,
.



一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．

1－5. BBACA；6－10.CBDBD

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．

11.
; 12.
; 13.
; 14．y＝±x; 15.
； 16．
,20．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．

17．解答(本题满分12分）

由正弦定理＝，

得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．

所以索道AB的长为1 040 m. 6分

(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，

此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，

所以由余弦定理得

d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．

由于0≤t≤，即0≤t≤8，

故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短． 12分

18．(本题满分12分）解答 （Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，则：
，
， 4分

∴
，

故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为
． 6分

（Ⅱ）
＝0、1、2．

，
，

,（答对一个得1分） 9分

∴
的分布列为

0

1

2



P









∴
.(分布列1分,期望2分；分布列部分对给1分) 12分

19．(本题满分12分）

解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，
，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以

所以

而
内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. 6分

（Ⅱ）过点Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是
为直线ＰＢ与平面PAE

所成的角，且
.

由
知，
为直线
与平面
所成的角.

由题意，知

因为
所以

由
所以四边形
是平行四边形，故
于是

在
中，
所以

　　　　　　　

于是

又梯形
的面积为
所以四棱锥
的体积为

　　　　　　　　　
12分

解法2：如图（2），以A为坐标原点，
所在直线分别为
建立空间直角坐标系.设
则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知
因为

所以
而
是平面
内的两条相交直线，所以

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，
分别是
，
的法向量，而PB与

所成的角和PB与
所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，
由
故

解得
.

又梯形ABCD的面积为
，所以四棱锥
的体积为

.

20．(本题满分13分）解答解：(1)设等差数列
的公差是
，则

解得
………1分

∴
(3分)

∴

∴
，适合条件①

又
，

∴当
或
时，
取得最大值20，即
，适合条件②．

综上，
………（7分）

（2）∵
，

∴当
时，
，此时，数列
单调递减；……10分

当
时，
，即
，………11分

因此，数列
中的最大项是
，………12分

∴
，即M的取值范围是
．………13分

21. (本题满分13分)（Ⅰ）解：由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．

令y=0得
即
，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．

所以
．于是椭圆C1的方程为：
．…………4分

（Ⅱ）设N（
），由于
知直线PQ的方程为：

． 即
．……………………………6分

代入椭圆方程整理得：
,

=
,

,
,

故

．………………………………10分

设点M到直线PQ的距离为d，则
．…………………11分

所以，
的面积S

………………12分

当
时取到“=”，经检验此时
，满足题意．

综上可知，
的面积的最大值为
．…………………………13分

22. (本题满分13分）【解】(Ⅰ)由
,.…………………………………1分

①当
时,显然
;

②当
时,由
得
,显然当
时,
;

所以当
时,
在上单调递增;

当
时,
在
上递增;.……………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)问知,当
时,
递增,且
,不合题意,舍去.……5分

当
时,由(Ⅰ)知,当
时,
,当
时,

所以当
时,
有极小值也是最小值,即
,

依题意
,…①……………………………………………………………7分

令
,则
, 于是
时,
,

同理知当
时,
有极大值也是最大值, 所以
……②

比较①②式可得,
,即
为所求. …………………………………………10分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知对
,有
,

于是令
,则有

即有
,即
(当且仅当
时取等号)

所以有

即
,即证. …………………13分