北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）已知全集
，集合
，
，或
，

那么

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）已知复数
为纯虚数，那么实数

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）在区间
上随机取一个实数
，若事件“
”发生的概率为
，则实数

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）已知点
的极坐标为
，那么将点
的极坐标化成直角坐标为

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（6）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织
个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的
个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有

（A）
种 （B）
种

（C）
种 （D）
种

（7）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为
，则该几何体体积为

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）已知函数
，
，若对于任意实数
，
与
的值至少有一个为正数，则实数
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
的公差
．

（10）曲线
与
轴围成的封闭区域的面积为 ．

（11）如图，在△
中，
，
，过
作△
外接圆的切线
，
于
，
与外接圆交于点
，则
．

（12）已知
分别为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆上一点，且
垂直于
轴．若
，则该椭圆的离心率为 ．

（13）已知函数
是
上的减函数，且
的图象关于点
成中心对称．若
满足不等式组
则
的最小值为 ．

（14）已知
，定义：
表示不小于
的最小整数．如
，
．

若
，则
的取值范围是 ；

若
且
，则
的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题共13分）

在△
中，
，
，△
的面积为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
值．

（16）（本小题共13分）

某地区有
名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是：
，
，
，
，
．规定
分及其以上为合格.

（Ⅰ）求图中
的值

（Ⅱ）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；

（Ⅲ）若三个人参加交通法规考试，用
表示这三人中考试合格的人数，求
的分布列与数学期望.

（17）（本小题共14分）

如图，在三棱锥
中，
底面
，
，
.
分别为
的中点，过
的平面与
相交于点
（
与
不重合，
与
不重合）.

（Ⅰ）求证：
∥
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的大小；

（Ⅲ）若直线
与直线
所成角的余弦值
时，

求
的长.

（18）（本小题共13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）若
在
处取得极值，求
的值；

（Ⅱ）若
在区间
上单调递增, 求
的取值范围；

（Ⅲ）讨论函数
的零点个数.

（19）（本小题共13分）

在平面直角坐标系中
中，动点
到定点
的距离与它到直线
的距离相等．

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）设动直线
与曲线
相切于点
，与直线
相交于点
．

证明：以
为直径的圆恒过
轴上某定点．

（20）（本小题共14分）

在无穷数列
中，
，对于任意
，都有
，且
．设集合
，将集合
中的元素的最大值记为
，即
是数列
中满足不等式
的所有项的项数的最大值，我们称数列
为数列
的伴随数列．

例如：数列
是
，它的伴随数列
是
．

(Ⅰ)设数列
是
，请写出
的伴随数列
的前
项；

(Ⅱ)设
，求数列
的伴随数列
的前
项和；

（Ⅲ）设
，求数列
的伴随数列
前
项和
．

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