数学试卷 （出卷：沈洪生 审核：周松涛）

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将班级、考号、姓名等填写清楚．

2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 设复数
（为虚数单位），则
　　　　　　　　　.

2．若函数
的图像与
的图像关于直线
对称，则
＝ ．

3．已知
且
，则
　　　　　　　　　.

4．若关于的一元二次方程
两根异号，则实数的取值范围是 .

5．双曲线
的一条渐近线方程为
，则
________.

6．已知向量
、
的夹角为150(，
，
，则
= .

7. 在二项式

的展开式中，
的系数为
，则
的值是__________.

8. 行列式
的值在
上恒小于
，则实数的取值范围是__________.；

9. 在北纬
圈上有
两点，若该纬度圈上
两点间的劣弧长为
为地球的半径
，则
两点间的球面距离是 .

10. 某公司一年购买某种货物
吨，每次都购买吨，运费为
万元/次，一年的总存储费

用为
万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．

11. 已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，
，则该双曲线的两条渐近线方程为 .

12．设
的三个内角
所对的边长依次为
，若
的面积为
，且
，则
．（数值）

13．设函数
的图象经过两点
和
，对一切
，

恒成立，则实数a的的取值范围______

14．如图，
是一块半径为1的半圆形纸板，在
的左下端剪去一个半径为
的半圆得到图形
，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形
，记纸板
的面积为
，则
_____________.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15. 下面是关于复数
的四个命题：

　　①
；　②
；　③的共轭复数为
；　④的虚部为
．

其中正确的命题…………………………………………………………………（　　）

A．②③ B．①② C．②④ D．③④

16．一无穷等比数列
各项的和为
，第二项为
，则该数列的公比为 （ ）

（A）
. （B）
. （C）
. （D）
或
.

17. 设锐角
的三内角、、
所对边的边长分别为、
、，

且
，
, 则
的取值范围为 ………（ ）.

．

．

．

．

18．定义一种新运算：
，已知函数
，若函数

恰有两个零点，则
的取值范围为 ………（ ）.

．

．

．

．

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．

如图所示，在棱长为2的正方体
中，,分别为线段
,
的

中点．（1）求三棱锥
的体积；

（2）求异面直线
与
所成的角．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．

已知向量
，
，其中
.函数
在区间
上有最大值为4,设
.

(1)求实数的值；

(2)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．

已知椭圆的方程为
，右焦点为，直线
的倾斜角为
，直线
与圆
相切于点
，且
在轴的右侧，设直线
交椭圆于两个不同点
.（1）求直线
的方程；

（2）求
的面积.

22． （共16分）本题共有3个小题，（1）小题5分，（2）小题5分，（3）小题满分6分.

数列
的前项和记为
，且满足
．

（1）求数列
的通项公式；（2）求和
；

（3）设有项的数列
是连续的正整数数列，并且满足：

．

问数列
最多有几项？并求这些项的和．

（2）当
时，某个似周期函数在
时的解析式为
，求函数
，
的解析式；

（3）对于确定的
时，
，试研究似周期函数函数
在区间
上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．

说明?

1.?本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.?

2.?评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.

3. 第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数.

一．填空题（本大题满分56分）

1.
； 2. 1 ； 3.
； 4.
； 5.
； 6. 1 ； 7.
； 8.
； 9.
； 10. 30 ； 11.
； 12.；13.
， 14.
，

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题

15.
； 16. D； 17. A ； 18. B；

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题

19. 解：（1）在正方体
中，

∵是
的中点，

………………3分

又

故
，

所以三棱锥
的体积为
．………………6分

（2）连
，由、分别为线段
、
的中点，

可得
∥
，故
即为异面直线
与
所成的角． ………………… 8分

∵
平面
，
平面
，∴
，

在
△
中，
，
，

∴
，∴
．

所以异面直线EF与
所成的角为
． ………………………… 12分

20. 【解】

（1）由题得
……4分

又
开口向上，对称轴为
，在区间
单调递增，最大值为4,

所以，
……7分

（2）由（1）的他，
……8分

令
,则
以
可化为
,

即
恒成立, ……9分

且
,当
,即
时
最小值为0, ……13分

……14分

21. 【解】（1）设直线
的方程为
，

则有
，得
……………………………………3分

又切点
在轴的右侧，所以
，……………………………5分

所以直线
的方程为
…………………………………7分

（2）设

由
得
…………………………9分

……………11分

又
，所以到直线
的距离
…13分

所以
的面积为
……………14分

22. 【解】（1）由
得
，相减得
，即
．

又
，得
，数列
是以1为首项2为公比的等比数列，
．

………………………………………………5分

（2）由（1）知
．

………………………………………………10分

（3）由已知得
．

又
是连续的正整数数列，
．上式化为
．……

又
，消
得
．

，由于
，
，
时，的最大值为9.

此时数列的所有项的和为
……………………16分

23解：因为
关于原点对称，……………………………………………………1分

又函数
的图像关于直线
对称，所以

① ………………………………………………………2分

又
，

用
代替得
③ ……………………………………………3分

由①②③可知

，

．即函数
是偶函数；…………………………………………4分