唐山市2014-2015学年度高三年级第二次模拟考试

理 科 数 学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

（1）设集合A={－1，0，1，2，3}， B={x|x2－2x＞0}，则 A∩B=（ ）

A．{3} B．{2，3}

C．{－1，3} D．{0，1，2}

（2）在复平面内，复数z与
的对应点关于虚轴对称，则z=

A．2＋i 　B．－2－i

C．－2+i D．－2－i

（3）在等差数列{an}中，a7＝8，前7项和S7＝42，则其公差d＝

A．－ B． 　　　　　C．－
　　　D．

（4）执行如图所示的程序框图，如果输入的a=209，b=76，则输出的a是

A．19 　　　

B．3 　　　

C．57 　　　

D．76

（5）设
，则

　　A、b＞a＞c　　　B、c＞b＞a　　　C、a＞c＞b　　　　D、a＞b＞c

（6）函数y=4sin(ωx+φ) (ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图，其中A（，0），B（，0），则

A．ω=，φ=－ 　B．ω=1，φ=－

C．ω=，φ=－ 　D．ω=1，φ=－

（7）设实数x，y满足约束条件
，则z＝
的取值范围是

A．[
，1 ] 　B．[
，
]

C．[
， ] 　D．[
，
]

（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
　　　　　B．

C．
　　　　　D．3

（9）一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分。已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有

　（A）7种　　　　　　（B）13种　　　　（C）18种　　　（D）19种

（10）在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则

A．
=1 　　B．
=2　　C．
=1 　　D．
=2

（11）已知函数
，当
时，方程f（x）＝g（x）根的个数是

　　（A）8　　　　　　　（B）6　　　　　（C）4　　　　　　（D）2

（12）已知圆C：x2＋y2＝1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足
=
，则t的取值范围是

A．[－2，2] 　　　 　　　B．[－3，3]

C．[－
，
] 　　　D．[－5，5]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

（13）已知|a|=，|b|=2，若（a+b）⊥a ，则a与b的夹角是 ．

（14）设Sn为数列{an}的前n项和，an =4Sn－3，则S4= ．

（15）在三棱锥P―ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．

（16）曲线
＝1与两坐标轴所围成图形的面积是　　　　　　　

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2－b2）csinB=2accos B+bc．

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．

（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P―ABCD的底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．

（Ⅰ）求证：AD⊥CD；

（Ⅱ）若AB＝AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值。

（19）（本小题满分12分）

某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：

支持

不支持

合计



中型企业

80

40

120



小型企业

240

200

440



合计

320

240

560



（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗” 与“企业规模”有关？

（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小型企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖励总数为X万元，求X的分布列和数学期望．

P(K2≥k0)

0.050

0.025

0.010



k

3.841

5.024

6.635



附：K2＝，

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线E：x2=4y，m，n是过点A（a，一1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E交于不同的两点C，D．

(Ⅰ)求m的斜率k的取值范围；

(Ⅱ)是否存在常数
，使得｜AC｜·｜AD｜＝
｜AB｜2？若存在，求
的值；若不存在，说明理由。

（21）（本小题满分12分）

已知f(x)= x++alnx，
，其中a∈R．

（Ⅰ）证明：g(t)= g()，并求g（x）的最大值；

（II）记f(x)的最小值点为
，证明：函数
有两个互为相反数的零点。

（22）（本小题满分10分）

如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．

(Ⅰ) 证明：AC∥OP；

(Ⅱ)若CD=2，PB=3，求AB ．

（23）（本小题满分10分）

在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ－）＝
，C与l有且只有一个公共点．

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB |的最大值．

（24）（本小题满分10分）

设f（x）=|x－1|－2|x+1|的最大值为m．

（Ⅰ）求m；

（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．

唐山市2014—2015学年度高三年级第二次模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题：

A卷：CBDAD CBADA BC

B卷：BCDAD CBAAD CB

二、填空题：

（13）150°； （14）； （15）20π； （16）．

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）因为2accosB＝a2＋c2－b2，所以2(a2－b2)＝a2＋c2－b2＋bc． …2分

整理得a2＝b2＋c2＋bc，所以cosA＝－，即A＝． …4分

（Ⅱ）因为∠DAB＝，所以AD＝BD·sinB，∠DAC＝． …6分

在△ACD中，有＝，又因为BD＝3CD，

所以3sinB＝2sinC， …9分

由B＝－C得cosC－sinC＝2sinC， …11分

整理得tanC＝． …12分

（18）解：

（Ⅰ）证明：

取PD中点E，连AE，EM，

则EM∥AN，且EM＝AN，

四边形ANME是平行四边形，MN∥AE． …2分

因为MN⊥CD，所以AE⊥CD．

取AD中点O，连PO，则PO⊥AD．

又因为平面PAD⊥平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD，PO⊥CD． …4分

故CD⊥平面PAD，AD⊥CD． …5分

（Ⅱ）由AB＝AD，AD⊥CD，得□ABCD是正方形，

建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝2，则

A(1，0，0)，B(1，2，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)，E(－，0，)．

＝(2，2，0)，＝(1，0，)， …7分

设平面PBD的法向量m＝(x，y，z)，则

取m＝(，－，－1)． …9分

＝＝(，0，－)， …10分

设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则

sinθ＝| cos(，m(|＝＝． …12分

（19）解：

（Ⅰ）K2＝≈5.657，因为5.657＞5.024，

所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3，

按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．

设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为

（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，

X的可能取值为90，130，170，210． …6分

P(X＝90)＝＝， P(X＝130)＝＝，

P(X＝170)＝＝， P(X＝210)＝＝， …10分

分布列表如下：

X

90

130

170

210



P











期望EX＝90×＋130×＋170×＋210×＝180． …12分

（20）解：

（Ⅰ）m：y＋1＝k(x－a)，n：y＋1＝－k(x－a)，分别代入x2＝4y，得

x2－4kx＋4ka＋4＝0 （1），

x2＋4kx－4ka＋4＝0 （2），

由Δ1＝0得k2－ka－1＝0，

由Δ2＞0得k2＋ka－1＞0，

故有2k2－2＞0，得k2＞1，即k＜－1，或k＞1． …5分

（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|·|AD|＝λ|AB|2，

B(x0，y0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则(y1＋1)(y2＋1)＝λ(y0＋1)2． …7分

将y1＋1＝－k(x1－a)，y2＋1＝－k(x2－a)，y0＋1＝k(x0－a)代入上式，得

(x1－a)(x2－a)＝λ(x0－a)2，即

x1x2－a(x1＋x2)＋a2＝λ(x0－a)2． …9分

由（2）得x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4ka＋4，

由（1）得x0＝2k，代入上式，得

4＋a2＝λ(4k2－4ka＋a2)． …11分

又Δ1＝0得k2－ka－1＝0，即4k2－4ka＝4，

因此4＋a2＝λ(4＋a2)，λ＝1．

故存在常数λ＝1，使得|AC|·|AD|＝λ|AB|2． …12分

（21）解：

（Ⅰ）因为g()＝＋x＋(x－)ln＝x＋＋(－x)lnx，

所以g(x)＝g()． …2分

则g((x)＝－(1＋)lnx， …3分

当x∈(0，1)时，g((x)＞0，g(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，g( (x)＜0，g(x)单调递减．

所以g(x)的最大值为g(1)＝2． …5分

（Ⅱ）f((x)＝1－＋＝． …6分

不妨取t＝＞0，由此得：t2＋at－1＝0或写为：a＝－t．

当x∈(0，t)时，f((x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(t，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)单调递增．

f(x)的最小值为f(t)＝t＋＋alnt＝t＋＋(－t)lnt …8分

即h(a)＝t＋＋(－t)lnt＝g(t)（或h(a)＝＋aln）．

由（Ⅰ）可知g()＝g(e2)＝－e2＜0，g(1)＝2＞0，

分别存在唯一的c∈(0，1)和d∈(1，＋∞)，

使得g(c)＝g(d)＝0，且cd＝1， …10分

因为a＝－t（t＞0）是t的减函数，

所以y＝h(a)有两个零点a1＝－d和a2＝－c，

又－d＋－c＝－(c＋d)＝0，

所以y＝h(a)有两个零点且互为相反数． …12分

（22）解：

（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，

所以PB＝PC，且PO平分∠BPC，

所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP． …4分

（Ⅱ）由PB＝PC得PD＝PB＋CD＝5，

在Rt△PBD中，可得BD＝4．

则由切割线定理得DC2＝DA ? DB，

得DA＝1，因此AB＝3． …10分

（23）解：

（Ⅰ）曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆；

l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.

由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1. …4分

（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，

则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos(θ＋)

＝3cosθ－sinθ＝2cos(θ＋)，

当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2. …10分

（24）解：

（Ⅰ）当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；

当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；

当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4．

故当x＝－1时，f(x)取得最大值m＝2． …4分

（Ⅱ）a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝2(ab＋bc)，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

此时，ab＋bc取得最大值1． …10分

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