哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学

2015年高三第二次联合模拟考试

理科数学试卷

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合M={
}，则集合M的真子集个数为

A．8 B．7 C．4 D．3

2．命题“若x>1，则x>0”的否命题是

A．若x≤l，则x≤0 B．若x≤l，则x>0

C．若x>1，则x≤0 D．若x<1，则x<0

3．复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2=-2i，则|z1|=

A．1 B．
C．2 D．4

4．已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为

(D若m
a，m
b，n
a，a
b，则m∥n；

②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；

③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．

A．0 B．1 C．2 D．3

5．已知向量
与向量a=(1，-2)的夹角为
，
，点A的坐标为(3，-4)，则点B的坐标为

A．(1，0) B．(0，1) C．(5，-8) D．(-8，5)

6．函数
图象的一条对称轴为

A．
B．
C．
D．

7．阅读程序框图，若输出结果
，则整数m的值为

A．7 B．8

C．9 D．10

8．设F1、F2分别为椭圆
的左、右焦点，点P在椭圆上，且
，则
=

A．
B．
C．
D．

9．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为

A．16
B．9

C．4
D．

10．已知
是定义在R上的奇函数，
是偶函数，当
∈(2，4)时，
，则
=

A．1 B．0

C．2 D．-2

11．已知双曲线
(a>0，b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线
截得的弦长为
a，则双曲线的离心率为

A．3 B．2 C．
D．

12．若函数
在区间(0，
)上是增函数，则实数a的取值范围是

A．(一∞，一l] B．[一1，+∞) C．(一∞，0) D．(0，+∞)

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．)

13．
的展开式中含
项的系数为 。

14．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量
(单位为：元)，经统计得
～N(520，14400)，从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在(400，640)之间的私家车估计有 辆．

(附：若
～N(
，
)，则P(
)=0．6826，P(
)=0．9544，P(
)=0．9974)

15．
ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=
，cosB=
，则a+c的值为 ．

16．在平面直角坐标系xoy中，已知圆O：
，点P(2，2)，M，N是圆O上相异两点，且PM
PN，若
，则
的取值范围是 ．

三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)

已知数列{an}前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n(n∈N*)．

(I)证明：{an+2}是等比数列，并求{an}的通项公式；

(Ⅱ)数列{bn}满足bn=log2(an+2)，Tn为数列{
}的前n项和，若
对正整数a都成立，求a的取值范围．

18．(本小题满分12分)

微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有
的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人(20岁至40岁)和中年人(40岁至60岁)两个阶段，那么其中
是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有
是青年人。

(I)现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容 量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．

青年人

中年人

合计



经常使用微信









不经常使用微信









合计









(Ⅱ)由列表中的数据，是否有99．9％的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?

(III)从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出X的期望．

附：

P(K2≥k)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828



19．(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面为正三角形，点M在棱BB1上，AB=4，AA1=5，平面A1MC
平面ACC1A1．

(I)求证：M是棱BB1的中点；

(Ⅱ)求平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

20．(本小题满分12分)

设F是抛物线C：
的焦点．P是C上一点，斜率为-l的直线l交C于不同两点A，B(l不过P点)，且
PAB重心的纵坐标为
．

(I)记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求k1+k2的值；

(II)求
的最大值．

21．(本小题满分12分)

已知函数
，
．

(I)曲线
在x=1处的切线与直线
垂直，求实数a的值；

(II)当
时，求证：
在(1，+∞)上单调递增；

(III)当x≥1时，
恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是
ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．

(I)求证：CE
AB=AE
AC；

(Ⅱ)若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(
，
)，点Q的极坐标是(
，
+
)，其中
是常数．设点Q的平面直角坐标是(m，n)．

(I)用x，y，
表示m，n；

(Ⅱ)若m，n满足mn=1，且
=
，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知a，b，c>0，a+b+c=1．

求证：(I)
；

(II)
.

三校联考二模理科数学答案2015.4

选择题：BABBA DCDBB DA

填空题：

13. 16 14. 6826 15.
16.

三．解答题：

17.解：(Ⅰ) 由题设
，

两式相减得
， ……2分

即
.

又
，

所以
是以4为首项，2为公比的等比数列 ……4分

.

……6分

又
，所以

（Ⅱ）因为
，

……8分

所以
， ……10分

依题意得：
……12分

18.解：（Ⅰ）由已知可得：下面
列联表：

青年人

中年人

合计



经常使用微信

80

40

120



不经常使用微信

55

5

60



合计

135

45

180



 ……4分

（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：

所以有
﹪的把握认为经常使用微信与年龄有关. ……8分

（III）从该市微信用户中任取一人，取到经常使用微信的中年人的概率为

依题意：
～
所以：
……12分

19.解：（1）取
中点
,连
.

在平面
上过
作
垂线交
于
.

平面

平面
.
平面

如图：以
为坐标原点，建立空间直角坐标系

由已知：

……3分

设
为平面
法向量

取

即：

又
为平面
法向量

依题意：

为棱
的中点 ……8分

（2）由（1）知：
为平面
法向量

又
为平面
法向量

平面
与平面
所成锐二面角余弦值为
. ……12分

20.解（1）设直线
的方程为：
，将它代入
得：
，

当
时，令
，则

，
，……3分

因为.
重心的纵坐标为
．所以
，所以，
．

，

所以：
． ……6分

（2）

， ……8分

由
得
，又
不过
点，则
．

令
，则
且
．

则

当
，即
，
时，
的最大值为
．……12分

21.解：(1)

依题意得：

解得：
……3分

（2）当
时：

对
成立

即：
在
上为增函数

又
，故
对
成立

在
上为增函数 ……6分

（2）

由
得：

设


……8分

设

①当
时：
对