安庆市2014～2015学年度第一学期期末教学质量调研监测

高三数学试题（B）参考答案及评分标准

一、选择题

1. C

2. B 【解析】

.

3. D 【解析】
.

4. C

5. C

6. B 【解析】因为
，
，所以
.

7. A
，所以
为圆
的直径. 又
，所以∠
°，∠
°，
，所以向量
在
方向上的投影为
.

8. A 【解析】
.

9. B 【解析】设公比为，因为
，则
，
，
.

由
，
，
，
成等差数列，有
，得
（舍）或
.

所以
，
，
，

所以
，由错位相减法可得

.

10. D 【解析】由
为函数
的一个极值点可得
，∴
.

若
有两个零点
，
，则
，显然D不适合.

二、填空题

11. 若
且
，则
.

12. 9

13. 2

14.
【解析】由
，得
，
，

所以
，

所以
的最大值为
.

15 ① ③ ④ 【解析】作出两个函数的图象.

三、解答题

16. 【解析】（1）

.

因为直线
是
图象的一条对称轴，所以
，
，当
时，正数取得最小值1. ………6分

（2）当
时，
.

由
，得
.

所以
的单调增区间
(
). …………12分

17. 【解析】（1）取
中点，连接
、
、
，因为
，所以△
是正三角形，所以
.根据侧面
⊥侧面
，有
⊥侧面
.

由
，平行四边形
的面积为
，∠
为锐角，可得

∠
°，所以△
为正三角形，有
.所以
平面
，从而
⊥
. …………6分

（2）因为
，所以
，所以四棱锥
的体积为
.

又三棱锥
的体积为三棱柱
体积的
，所以四棱锥
的体积为三棱柱
体积的
.

从而所求的斜三棱柱
的体积为
. …………12分

18. 【解析】（1）甲答错题目数的平均数为
，所以答对题目数的平均数为
，所以甲第一卷的平均得分为
. …………6分

（2）根据题意知点
共有16个：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
和
.

因为
，所以符合
的点共有8个：
、
、
、
、
、
、
、
.

故所求的概率为
. …………12分

19. 【解析】（1）由
.

因为
，
，所以
，即
，所以数列
是首项为，公比为的等比数列.

故
，
. …………5分

（2）
.

，即
，化简得
.

因为
，所以
时，有
. …………12分

20. 【解析】（1）由直线
与圆
相切，得
.

由
，
，得
.

所以椭圆
的方程为
. …………5分

（2）设
，
，
，

则直线
的方程为
.

令
，得
，所以
.

因为、
两点关于轴对称，所以
.

同理可得
，

所以
.

因为
，
，所以
，
，

从而
为定值. …13分

21. 【解析】（1）
.

因为
为奇函数，所以
恒成立，得
，
.所以
，
.

又
，所以
，故
.

所以
，
. …………3分

① 当
时，
，从而
在
上单调递增，无极值；

② 当
时，

，

所以
在
上单调递减，在
和
上单调递增，

，

. ………7分

（2）当
时，
，根据（1）可知
在
上单调递减，在
和
上单调递增，

，
.

作函数
的图象，如图所示.

由图可知当
时，

方程
有三个不同的实数解.

…………14分