2015届江苏苏州园区高三年级联考试卷(2015.4.24)

数 学 试 题

参考公式：锥体的体积公式：
，其中
为锥体的底面积,
为高.

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．设集合
，集合
，则
。

2．若复数
（其中
为虚数单位），则
。

3．为了解1000名学生的学习情况，现采用系统抽样的方法

从中抽取容量为40的样本，则抽样中分段的间隔为 。

4．有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有3个完全相同的小球，

球上分别标有数字1，2，3. 甲从其中一个箱子中随机摸出一个球，

乙从另一个箱子中随机摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就

获胜（若数字相同则为平局），则甲没有获胜的概率为 。

5．“
”是“抛物线
的准线恰好与双曲线

的一条准线重合”的 条件（选填“充分不必要”、

“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）。

6．图中的程序框图描述的是“欧几里得辗转相除法”的算法。若输入
，
，则输出
。

7．若变量
满足
，则
的最小值为 。

8．四面体
沿棱
剪开，将面
，面
和

面
展开落在平面
上，恰好构成一个边长为1的正方形

（如图所示），则原四面体的体积为 。

9．设函数
在
处取得最值，若数列
是首项与公差均为
的等差数列，则
的值为 。

10．奇函数
与偶函数
的图象分别

如图甲与图乙所示，设方程

与
的实根个数分别为
，

则
的值为 。

11．设正实数
满足
，

则
的最小值为 。

12．已知圆
的半径为
，
是圆上的两

点，且
，
是圆
的任意

一条直径，若点
满足
，则
的最小值为 。

13．在平面直角坐标系
中，已知点
，
，一条直线
过点
，且与单

位圆
恒相切. 若有且只有两个点
满足：①
；②点
到直线
的距离为1，则实数
的取值范围是 。

14．设等差数列
的各项均为整数，其公差
，
，若无穷数列

构成等比数列，则数列
的前2015项中是该等比数列中项的个数为 。

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

已知函数
的部分图象如图所示.

（1）求函数
的解析式；

（2）若
，求函数
在区间
上的单调减区间.

16．(本小题满分14分)

在直三棱柱
中，
，
，点
分别是棱
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：平面

平面
.

17．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率为
，上顶点为
，直线
与椭圆
交于
两点，且
的面积为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）设点
是椭圆
上一点，过点
引直线
，其倾斜角与直线
的倾斜角互补. 若直线
与椭圆
相交，另一交点为
，且直线
与
轴分别交于点
，求证：
为定值。

18．如图所示，某镇有一块空地
，其中
，
，
. 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖
，其中
都在边
上，且
，挖出的泥土堆放在
地带上形成假山，剩下的
地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在
的一周安装防护网.

（1）当
时，求防护网的总长度；

（2）若要求挖人工湖用地
的面积是堆假山用地
的面积的
倍，试确定
的大小；

（3）为节省投入资金，人工湖
的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使
的面积最小？最小面积是多少？

19．设
，且
，数列
的前
项和为
，已知数列
是首项为0，公差为1的等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
是给定的正整数，
，数列
满足
.

①当
时，求数列
的前
项和

；

②设数列
满足
，试求数列
中最大项的值.

20．已知函数
（
）.

（1）当
时，求函数
在
上的最大值；

（2）若函数
在区间
上不单调，求
的取值范围；

（3）当
时，设
，其中
，试证明：函数
在区间
上有唯一的零点.（参考公式：若
，则
）

2015届高三年级联考试卷

数学参考答案

1．
2．
3．25 4．
5．充要 6．1 7．
8．

9．
10．14 11．
12．2 13．
14．7

15．解：（1）由图知
，解得
， …………2分

又
，所以
，故
， …………4分

所以
，将点
代入，得
，

再由
，得
，所以
. …………6分

（2）因为

， ………10分

由
，解得

，

又
，故所求的单调减区间为
. ………14分

16．证明：（1）在直三棱柱
中，
且
，

而点
分别是棱
的中点，所以
且
，

所以四边形
是平行四边形， ………2分

即
且
，又
且
，所以
且
，

即四边形
是平行四边形，所以
， ………4分

又
平面
，所以
平面
. ………6分

（2）因
，所以四边形
是正方形，所以
，

又点
分别是棱
的中点，即
，所以
. ………8分

因
，点
是棱
的中点，所以
，

由直三棱柱
，知
底面
，即
，

所以
平面
，即
， ………10分

所以
平面
， ………12分

又
平面
，所以平面

平面
. ………14分

17．解：（1）由
，得
，
， ………2分

联立
，得
，

所以
，………4分

又上顶点
到直线
的距离为
，

所以
的面积为
，

解得
，即椭圆的方程为
. ………8分

（2）设
，则
，因为直线
与直线
的倾斜角互补，所以
，

所以直线
的方程为
，

令
，得
；令
，得
. ………10分

所以

. ………14分

方法2：设
，则
，因为直线
与直线
的倾斜角互补，

所以
，

所以直线
的方程为
，

令
，得
；令
，得
. ………10分

联立
，消去
，得
，

解得
， ………12分

所以

. ………14分

18．解：（1）在
中，因为