2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）

数学（文科）　 2015.4

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合
的子集个数为（　　　　）

A．3 B．4 C．7 D．8

2．若复数
满足
，其中
为虚数单位，则在复平面上复数
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量
，
，则向量
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．由不等式组
确定的平面区域记为M，若直线
与M有公共点，则
的最大值为（ ）

A．
B． 1 C．2 D．4

5．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示

的程序框图执行（其中
为座位号），并以输出的值作为下一轮

输入的值。若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）

A． 8 B．15 C． 20 D．36

6．不可能以直线
作为切线的曲线是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，
，
，若

，则A=（　　　）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，
，则“
”是“
为偶函数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既充分也不必要条件

9．已知
，
，
均为直线，
，
为平面，下面关于直线与平面关系的命题：

（1）任意给定一条直线与一个平面
，则平面
内必存在与
垂直的直线；

（2）
∥
，
内必存在与
相交的直线；

（3）
∥
，

，

，必存在与
，
都垂直的直线；

（4）
⊥
，
，

，

，若
不垂直
，则
不垂直
。

其中真命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C． 3 D．4

10．若集合P具有以下性质：

①
，
； ②若
，则
，且
时，
。

则称集合P是“
集”，则下列结论不正确的是（ ）

A．整数集
是“
集”

B．有理数集
是“
集”

C．对任意的一个“
集” P，若
，则必有

D．对任意的一个“
集” P，若
，且
，则必有

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题）

11．已知等差数列
满足
，
，则
= 。

12．用两种不同的颜色给图2中三个矩形随机涂色，

每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同

颜色的概率是

13．在平面直角坐标系
中，已知圆C：
，过
轴上的一个动点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则线段AB长度的取值范围是

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（极坐标与参数方程选讲）　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为 参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线C的极坐标为
，则直线l

和曲线C的公共点有　　　个.

15．（几何证明选讲）　如图3，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，

且AD＝2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F，

若
，则EF＝　　　　.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数
.

（1）求
的值； （2）求函数
的值域和单调递增区间.

17．（本小题满分12分）

寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据.

日期

2月14日

2月15日

2月16日

2月17日

2月18日



销售量（件）

白天

35

32

43

39

51





晚上

46

42

50

52

60



已知摊位租金900元/档，售余精品可以以进货价退回厂家.

画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；

明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归承包者所有。如果其它条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理？

18．（本小题满分14分）

如图4，平面ABCD⊥平面PAB，且四边形ABCD为正方形，△PAB为正三角形，M为PD的中点，E为线段BC上的动点.

（1）若E为BC的中点，求证：AM⊥平面PDE；

（2）若三棱锥A—PEM的体积为
，求正方形ABCD的边长.

19．（本小题满分14分）

设
为数列
的前
项和，数列
满足
，
，其中
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，
为数列
的前
项和，若当且仅当
时，
取得最小值，求
的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知椭圆E：
过点（0, －1），且离心率为
.

求椭圆E的方程；

如图5，A，B，D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.

21．（本小题满分14分）

设常数a＞0，
，函数
.

(1)若函数
恰有两个零点，求
的值；

(2)若
是函数
的极大值点，求
的取值范围.

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