高三数学（理工农医类） 2015.04

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集
，集合
，
，则

等于

A．
B．
C．
D．

2. 设
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则
的值为

A．－3 B．－1 C．1 D．3

3. 已知命题
；命题
，则下列判断正确的是

A．
是假命题 B．
是真命题 C．
是真命题 D．
是真命题

4. 设
是不同的直线，
是不同的平面，下列命题中正确的是

A．若
，则
； B．若
，则
；

C．若
，则
； D．若
，则
；

5.若
，且
，则

A．
B．
C．
D．

6. 已知定义在R上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在
上的大致图像是

7. 已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是边长为1的正三角形，棱SC是球O的直径且SC=2，则此三棱锥的体积为

A．
B．
C．
D．

8.某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门， 则不同的分配方案种数是

A．6 B．12 C．24 D．36

9. 已知圆
和两点A（
），B
（
），若圆C上存在点P，使得
,则
的最大值为

A.7 B. 6 C. 5 D. 4

10. 已知函数
，若函数
的零点都在
内，则
的最小值是

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是 ；

12. 当输入的实数
时，执行如图所示的程序框图，则输出的
不小于103的概率是 ；

13. 已知G为△ABC的重心，令
，
，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且
，
，则
=__________．

14. 抛物线
的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为
，则抛物线的方程为 ；

定义在
上的函数
满足：对
，都有
；当
时，
，给出如下结论： ①对
，有
；

②函数
的值域为
； ③存在
，使得
；

④函数
在区间
单调递减的充分条件是“存在
，使得
，其中所有正确结论的序号是： .（请将所有正确命题的序号填上）

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知向量
，把函数
化简为
的形式后，利用“五点法”画
在某一个周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表所示：







①







0













0

1

0



0





（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求
的值及函数
在区间
上的值域；

（Ⅱ）设
的内角
所对的边分别为
，已知
，
，
，求
．

17．（本小题满分12分）

如图，边长为
的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=
AB=1，点M在线段EC上。

（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；

（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为
。

18．（本小题满分12分）

已知等比数列数列
的前
项和为
，公比
，
，
．

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）令
，
为数列{
}的前
项和，求
.

19．（本小题满分12分）

某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用。已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响。若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为
，
，
，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是
．

（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；

（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记
为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量
的分布列及数学期望
.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆E的中心在坐标原点O，其焦点与双曲线C：
的焦点重合，且椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过双曲线C的右顶点A作直线
与椭圆E交于不同的两点
、
。

①设M（
，0），当
为定值时，求
的值；

②设点N是椭圆E上的一点，满足ON//PQ，记△NAP的面积为
,△OAQ的面积为
,求
+
的取值范围.

21．（本小题满分14分）

设
，其中
．

（Ⅰ）求
的极大值；

（Ⅱ）设
，若
对任意的
恒成立，求
的最大值；

（Ⅲ）设
，若对任意给定的
，在区间
上总存在
，使
成立，求
的取值范围.

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