2015年山东省滕州市第二中学第一学期高三期中考试数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．

1． （2015?惠州模拟）已知集合A={y|y=|x|-1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．-3∈A, B．3?B, C．A∩B=B, D．A∪B=B

2． （2014?山东）已知函数f（x）=丨x-2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A．（0，
）, B．（
，1）, C．（1，2）, D．（2，+∞）

3． （2015?惠州模拟）下列函数在定义域内为奇函数的是（　　）

A．y=x+
, B．y=xsinx, C．y=|x|-1, D．y=cosx

4． （2015?惠州模拟）某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（　　）

A．15, B．20, C．25, D．30

5．若
，则

A．
B．
C．
D．

6．已知
是三条不同的直线，
是两个不同的平面，下列命题为真命题的是

A．若
，
，
，
，则

B．若
，∥
，
，则

C．若
∥，
，则
∥

D．若
，
，
，则
∥

7．将函数
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，则它的一个对称中心是

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
若
，则实数的取值范围为

A．
B．
C．
D．

9．如图所示，在边长为的菱形
中，
，对角线相交于点
是线段
的一个三等分点，则
等于

A． B． C．
D．

10．已知函数
的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若
，且
，则

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．

11．命题：“
,
．”的否定是 ．

12．等差数列
中，
，则
___________．

13．已知角的终边上一点的坐标为
，则角的最小正值为_________．

14．已知
，且
，则
的最小值为_____　______．

15．某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为___ ________．

16．记

，当
时，观察下列等式：

　

　

　

　
，

，
，

可以推测，
___________．

三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知数列
是各项均为正数的等差数列，
，且
，
,
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前项和
．

18．（本小题满分12分）换题，变第18题

已知向量
函数

（1）求函数
的最小正周期；

（2）求函数
在区间
上的最大值和最小值．

19．（本小题满分12分）

如图所示，三棱锥A - BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．

（1）求证：CD⊥平面ABD；

（2）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分12分）

如图所示，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．

（1）求
的值；

（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市A？

21．（本小题满分14分）

如图所示，矩形
中，
，
．，分别在线段
和
上，
∥
，将矩形
沿
折起．记折起后的矩形为
，且平面
平面
．

（1）求证：
∥平面
；

（2）若
，求证：
；

（3）求四面体
体积的最大值．

22．（本小题满分14分）

已知
,函数
．

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线的斜率；

（2）讨论
的单调性；

（3）是否存在的值，使得方程
有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

2015年山东省滕州市第二中学第一学期高三期中考试

数学（文）试题参考答案

一、选择题：每小题5分，共50分．

CACDA BCDBD

二、填空题：每小题4分，共24分．

11．
（写成
也给分）

12．
13．
14．
15．
16．

三、解答题：本大题共6个小题，共76分．

17．解：（1）由题意
， ………………………………………2分

即
，解得
或
……………………4分

由已知数列
各项均为正数，所以
，故
…………………6分

（2）
………………………………10分

………………………………11分

……………………………………12分

18．（1）
-------------------2分

，------------5分

∴函数
的最小正周期为
．----------------------------------------6分

（2）令
，∵
，

∴
，-----------------------------------8分

即
，∴
在
上是增函数，

在
上是减函数，-----10分

∴当
，即
，
时，
．----------------11分

当
或
，即
或
时，
．---------------------12分

19．解：方法一：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AB⊥CD又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，

AB平面ABD，BD平面ABD，

∴CD⊥平面ABD． …（每个条件1分）…………6分

（2）由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD．

∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝．∵M是AD的中点，

∴S△ABM＝S△ABD＝．-----------8分

由（1）知，CD⊥平面ABD，

∴三棱锥C - ABM的高h＝CD＝1， --------------10分

因此三棱锥A - MBC的体积VA - MBC＝VC - ABM＝S△ABM·h＝．--------------12分

方法二：（1）同方法一．

（2）由AB⊥平面BCD，得平面ABD⊥平面BCD．

且平面ABD∩平面BCD＝BD．

如图所示，过点M作MN⊥BD交BD于点N，

则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝．

又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝．

∴三棱锥A - MBC的体积VA - MBC＝VA - BCD－VM - BCD

＝AB·S△BCD－MN·S△BCD＝． --------------12分

20．解：（1）由已知，
． ------------------------------------2分

在△BCD中，据余弦定理，

有
．----4分

所以
．　------------------------6分

（2）由已知可得，

所以
．----8分

在△ABD中，根据正弦定理，有
，

又BD＝21，则
．-----------------------10分

所以
（分钟）．　　　-----------------------------------------12分

答：这艘游轮再向前航行22．5分钟即可到达城市A．

21．解：（1）证明：因为四边形
，
都是矩形， 所以
∥
∥
，
．

所以 四边形
是平行四边形，……………2分

所以
∥
， ………………3分

因为
平面
，所以
∥平面
．4分

（2）证明：连接
，设
．

因为平面
平面
，且
，

所以
平面
…5分

所以
．

又
，所以四边形
为正方形，所以
．

所以
平面
， 所以
． …………8分

（3）解：设
，则
，其中
．由（Ⅰ）得
平面
，

所以四面体
的体积为
．

所以
．

当且仅当
，即
时，四面体
的体积最大． …………12分

22．解：（1）当
时，

所以曲线y=
（x）在点
处的切线的斜率为0． …………………………3分

（2）
…………………………………………4分

①当
上单调递减； ………………………6分

②当
．

．

………………8分

（3）存在
，使得方程
有两个不等的实数根． ………………9分

理由如下：

由（1）可知当
上单调递减，

方程
不可能有两个不等的实数根； ………………………11分

由（2）得，
使得方程
有两个不等的实数根，等价于函数
的极小值
，即
，解得

所以的取值范围是
…………………………14分