2014-2015学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期中考试数学试题

第Ⅰ卷（60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合A={
}，则满足A
B={0，1，2}的集合B的个数是

A．1 B．3 C．4 D．6

2．已知
，则下列不等式一定成立的是

A．
B．

C．
D．

3．已知
是两个非零向量，给定命题
，命题
，使得
，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知各项均为正数的等比数列
中，
成等差数列，则

A．27 B．3 C．
或3 D．1或27

5．函数
的定义域为
，则函数
的定义域为

A．
　　 　 B．

C．
　　　 D．

6．已知
,则

A．

B．
C．
D．

7．已知x，y满足
，记目标函数
的最小值为1，最大值为7，则
的值分别为

A．-1，-2 B．-2，-1 C．1，2 D．1，-2

8．已知等比数列
满足
＞0，＝1,2，…，且
，则当≥1时，
＝

A．n（2n－1） B．（n＋1）2 C．n2 D．（n－1）2

9．已知x∈，且函数f（x）＝的最小值为b，若函数g（x）＝，则不等式g（x）≤1的解集为

A． B． C． D．

10．设F1，F2是双曲线C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．2 D．

11．若曲线f（x，y）＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

12．函数
，在定义域
上表示的曲线过原点，且在
处的切线斜率均为
．有以下命题：

①
是奇函数；②若
内递减，则
的最大值为4；③
的最大值为M，最小值为m，则
；④若对
恒成立，则
的最大值为2．其中正确命题的个数为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．

13．若函数
在上可导，
，则
．

14．若
且
，则
的最小值为 ．

15．抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线
的右焦点重合，过点P（2,0）且斜率为1的直线
与抛物线C交于A,B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_______

16．对于实数a,b,定义运算
：
设
，且关于x的方程
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是___________

三、解答题：本大题共六个大题，满分70；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

（1）已知
，且
，求
的值；

（2）已知为第二象限角，且
，求
的值．

18．（本题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

且
．

（Ⅰ）求角
的大小； （Ⅱ）若
的最大值．

19．（本题满分12分）

设数列
是等差数列，数列
的前项和
满足
且

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式：

（Ⅱ）设
，设
为
的前n项和，求
．

20．（本题满分12分）

设椭圆C：
的离心率
，右焦点到直线
的距离
，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。

21．（本题满分12分）

已知函数
，在点（1,f（1））处的切线方程为y+2=0．

（1）求函数f（x）解析式；

（2）若对于区间[-2,2]上的任意两个自变量
都有
，求实数c的最小值；

（3）若过点M（2，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围；

22．（本题满分12分）

已知函数
（
均为正常数），设函数
在
处有极值．

（1）若对任意的
，不等式
总成立，求实数
的取值范围；

（2）若函数
在区间
上单调递增，求实数的取值范围．

2014-2015学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期中考试

数学试题参考答案

一、选择题：1．C 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．A 8．A 9．D 10．A 11．B 12．B

二、填空题：13．-4 14．
15．11 16．

三、解答题：

18．解：（Ⅰ）由a－2csin A＝0及正弦定理，

得sin A－2sin Csin A＝0（sin A≠0），（1分）

∴sin C＝，（4分）∵△ABC是锐角三角形，

∴C＝ （6分）

（Ⅱ）∵c＝2，C＝，由余弦定理，a2＋b2－2abcos ＝4，

即a2＋b2－ab＝4 （8分）

∴（a＋b）2＝4＋3ab≤4＋3·2，即（a＋b）2≤16，（10分）

∴a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2取“＝”（11分）

故a＋b的最大值是4．（12分）

19．解：（1）
, （3分）
．（3分）

（2）
．（12分）

20．（1）

（2）设A
，当直线AB的斜率不存在时，
，又
，解得
，即O到直线AB的距离
，当直线的斜率存在时，直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆
联立消去y得
，


，
即

，整理得
O到直线AB的距离


当且仅当OA=OB时取“=”有
得
,
即弦AB的长度的最小值是

21．（1）由已知得
，根据题意，得
即
解得

（2）由（1）知
则
令
又f（-1）=2,f（1）=-2,f（-2）=-2,f（2）=2,

（3）设切点为（
，则

切线的斜率为
则有
，即
过点M（2,m）可作曲线y=f（x）的三条切线，方程
有三个不同的实数解，
有三个不同的零点，
令
解得x=0,x=2,

22．解：∵
，∴
，由题意，得
，解得
．----?2分

（1）不等式
等价于
对于一切
恒成立．?----?? 4分

记
，则
----5分

∵
，∴
，∴
，

∴
，从而
在
上是减函数．

∴
，于是
．??---- 6分

（2）
，由
，得，即
．?----? 7分

∵函数
在区间
上单调递增，

∴
，

则有
----9分，即
，

∴
时，
---- 12分