山东省枣庄市第九中学2015届高三第一学期10月月考数学（理）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）

1．设
、
都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列命题的说法错误的是

A．命题“若
则
”的逆否命题为：“若
, 则
”.

B．“
”是“
”的充分不必要条件.

C．对于命题

则

D．若
为假命题，则
均为假命题.

3．已知等差数列
的公差
若
则该数列的前项和
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．在
中,已知
,则
的面积是

A．
B．
C．
或
D．

5．函数
的图像大致为

6．已知向量
，若
为实数，
∥
，则
=

A．2 B．1 C．
D．

7． 已知函数
的图象的一个对称中心是点
，则函数
＝
的图象的一条对称轴是直线

A．
B．
C．
D．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．240 B．200 C．
D．

9．设
是等比数列，公比
，
为
的前n项和。记
，设
为数列
的最大项，则
=

A．3???? ?? B．4??? ??? C．5????? ?? D．6

10．设函数
其中
表示不超过的最大整数，如
=-2，
=1，
=1，若直线
与函数y=
的图象恰有三个不同的交点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11．已知
，则
．

12．一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果
的力能使弹簧伸长
，则把弹簧从平衡位置拉长
（在弹性限度内）时所做的功为__________．（单位：焦耳）

13．设
,若函数
有小于零的极值点，则实数的取值范围是 ．

14．设实数
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为8，则
的最小值为_______．

15．对于定义域为[0,1]的函数
，如果同时满足以下三个条件：

①对任意的
，总有

②

③若
，
，都有
成立；

则称函数
为理想函数．下面有三个命题：

若函数
为理想函数，则
；

函数
是理想函数；

若函数
是理想函数，假定存在
，使得
，且
，则
；

其中正确的命题是_______．（请填写命题的序号）

三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16．（本小题满分12分）设命题
“对任意的
”，命题
“存在
，使
”。如果命题
为真，命题
为假，求实数的取值范围。

17．（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边, 面积

（1）求角C的大小；

（2）设函数
，求
的最大值,及取得最大值时角B的值．

18．（本小题满分12分）设数列
的前项和为
，点
在直线
上．

（1）求数列
的通项公式；

（2）在
与
之间插入个数，使这
个数组成公差为
的等差数列，求数列
的前项和
，并求使
成立的正整数的最大值．

19．（本小题满分12分）在淘宝网上，某店铺专卖孝感某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克，
）满足：当
时，
，
；当
时，
．已知当销售价格为元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为
元/千克时，每日可售出150千克．

（1）求
的值，并确定关于的函数解析式；

（2）若该特产的销售成本为元/千克，试确定销售价格的值，使店铺每日销售该特产所获利润
最大（精确到0．1元/千克）．

20．（本小题满分13分）已知
为椭圆
的左，右焦点，
为椭圆上的动点，且
的最大值为1，最小值为-2．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
作不与y轴垂直的直线
交该椭圆于
两点， A为椭圆的左顶点。试判断
是否为直角，并说明理由．

21．（本小题满分14分）

（1）若
是
的一个极值点，求
的单调区间；

（2）证明：若
；

（3）证明：若
．

2015届山东省枣庄市第九中学高三第一学期10月月考

数学（理）试题参考答案

选择题

CDCCA CDBBA

填空题

11．
12．1．2 13．
14．
15．①②③

三、解答题

16．解：由题意：对于命题
∵对任意的

∴
，即p:
； …………………2分

对于命题
∵存在
，使

∴
,即q:
。 …………………4分

∵
为真，
为假

∴p,q一真一假， …………………6分

p真q假时
, …………………8分

p假q真时
, …………………10分

∴a的范围是
。 …………………12分

17．解：（1）由S=
absinC及题设条件得
absinC=
abcosC………………1分

即sinC=
cosC, tanC=
,……………………………………………………2分

0

（2）

………………7分

， ……………………9分

∵ C=
∴
∴
（没讨论，扣1分） ………10分

当
，即
时，
有最大值是
…………………………………12分

18．解：由题设知，
……………………………1分

得
），………………………………2分

两式相减得：
，

即
，

又
得
，

所以数列
是首项为2，公比为3的等比数列，

∴
． …………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

因为
， 所以

所以
……………………7分

令
…
，

则
…
①

…
②

①…②得
…

…………………………………10分

所以
，即
，

得

所以，使
成立的正整数的最大值为……………………12分

19．解：（1）由题意：x=2时y=600，∴a+b=600,

又∵x=3时y=150，∴b=300 ．…………2分

∴y关于x的函数解析式为：
…………4分

（2）由题意：
，…………6分

当
，
，

∴
时有最大值
。 …………8分

当
时，

∴
时有最大值630 …………10分

∵630<

∴当
时
有最大值

即当销售价格为1．7元的值，使店铺所获利润最大。 …………12分

20．解：（1）设
则

(-a≤x≤a)…2分，所以当
时，
取得最小值
，

当
时，
取得最大值
，∴
……5分

故椭圆的方程为
……6分

（2）设直线MN的方程为
,

联立方程组可得
，化简得：

设M（x1，y2），N（x2，y2），则

,
， …9分

又
,

=

…12分

所以
,所以
的大小为定值90° ……13分

21．解：（I）
……… 2分

故单增区间为
单减区间为
。 ……… 5分

（II）由（I）知，

……… 9分

（III）证法1：先证
令

………．10分

时，
时

…………12分

……… 14分

证法2：由柯西不等式得
………10分

令
则

又由均值不等式知
………．．12分

由不等式的性质知
即证。 ………14分