2015滁州市高级中学联谊会高三第一学期期末联考

数学（理科）参考答案

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）



答案

A

D

B

A

D

B

C

C

B

C



（1）A 解析：z＋i＝＝1－i，z＝1－2i，故
1＋2i .

（2）D 解析：7名裁判的打分按从小到大排序后,中位数在第四位,去掉最高分和最低分后,中位数不变，故选B，A、C、D可通过举例说明不一定正确.

（3）B 解析:由图知
,
，

又
，

.

（4）A 解析：画图知z在x＝a与2x－y＋3＝0的交点(a，2a＋3)处取得最大值，即a＋4a＋6＝11，a＝1．

（5）D　解析：直线l的直角坐标方程为x＋y＋2＝0，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心C到直线l的距离d＝＝3，故圆C上的点到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.

（6）B 解析：由三视图可知该几何体是上面为圆锥、下面为圆柱的组合体，故其表面积

（7）C 解析:

为增函数.当n=9时,s=0.9，故输出结果为9.

（8）C 解析：当a=1时，y=x与y=ln(x+1)相切,反之也成立，故选C.

（9）B 解析：由已知得f (x＋3n)＝2f [x＋3(n－1)]＝22f [x＋3(n－2)]＝…＝2nf (x)，当x＝2，n＝671时得

f (2015)＝2671．

C　解析：甲、乙在同一路口，即可看成4人分到三个不同路口，则有一个路口为2人，先从4人中取出2人，共有
种取法，再将这2人放一起与其余2人随机分到三个路口，有
种分法，故共有
种分法.

（11）15 解析：
令

（12）36 解析：32＝a2＋2a4＋5a6＝
S9＝＝9a5＝36.

（13） 解析：设x轴与准线交于点A，则|FA|＝2，∵|PF|＝|PQ|，则∠PQF＝30°，∠QFA＝30°，|AQ|＝，|FQ|＝， |PF|＝．

（14）[4,12] 解析：由已知得x2＋2xyab＋y2＝6，即x2－xy＋y2＝6，∵－≤xy≤，故≤x2－xy＋y2≤， 4≤x2＋y2≤12．

（15）①②④⑤ 解析：∵EF∥AC1，∴EF∥平面ACC1A1，①正确；∵CE⊥平面ABB1A1，∴平面CEF⊥平面ABB1A1，②正确；平面CEF即为平面B1CE，将三棱柱截下一个三棱锥B1－CBE，设△ABC的面积为S，棱柱的高为h，V三棱柱＝Sh，V＝×Sh＝Sh，∴大小两部分的体积比为5:1，③不正确；球在底面上的投影为
的内切圆，其半径为
高的，BB1＝2R＝×AB＝AB，AB＝BB1，④正确；设AB＝2，BB1＝a，BG＝x，B1G＝a－x，则CG2＝x2＋4，A1G2＝4＋(a－x)2，A1C2＝a2＋4，则x2＋4＋4＋(a－x)2＝a2＋4，即x2－ax＋2＝0，△＝a2－8＝0，a＝2＝AB，⑤正确．

解析：（Ⅰ）∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－(A＋B)，

sinC＝sin(A＋B)＝2sin(A－B)，即sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB－2cosAsinB，

sinAcosB＝3cosAsinB，∴tanA＝3tanB．（6分）

（Ⅱ）解法一：由正、余弦定理及sinAcosB＝3cosAsinB，得
，

化简得
，又c=2b，故
A＝60°.（12分）

解法二：由正弦定理知sinC＝2sinB，则2sin(A－B)＝2sinB，A＝2B，

代入tanA＝3tanB中整理得＝3tanB，解得tanB＝，B＝30°，A＝60°.（12分）

解析：（Ⅰ）估计平均值为25×0.15＋75×0.25＋125×0.3＋175×0.2＋225×0.1＝117.5.（3分）

（Ⅱ）不低于100袋的概率为0.6，低于50袋的概率为0.15，设事件A表示有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋，则P(A)＝C(0.6)2×0.15＝0.162．（6分）

（Ⅲ）不低于150袋的概率为0.3，X~B(3，0.3)，

P(X＝0)＝C(0.7)3＝0.343，P(X＝1)＝C(0.7)2×0.3＝0.441，

P(X＝2)＝C×0.7×0.32＝0.189，P(X＝3)＝C×0.33＝0.027．

X的分布列为：

X

0

1

2

3



P

0.343

0.441

0.189

0.027



均值EX＝3×0.3＝0.9．（12分）

解析：（Ⅰ）连接AD1，则D1C1∥DC∥AB，∴A、E、C1、D1四点共面，

∵C1E∥平面ADD1A1，则C1E∥AD1，∴四边形AEC1D1为平行四边形，

∴AE＝D1C1＝1，∴E为AB的中点．（6分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(2，0，0)，E(2，1，0)，C1(0，1，2)，

＝(2，1，0)，＝(0，1，2)，＝(0，1，0)，＝(－2，1，2)，

设平面DEC1的法向量为m＝(x，y，z)，则，

令x＝1，得m＝(1，－2，1)．

设平面AEC1的法向量为n＝(a，b，c)，则，

令a＝1，得n＝(1，0，1).

cos＝＝，故二面角A－C1E－D的余弦值为．（12分）

解析：（Ⅰ）当a＝1时，f ′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex．

当x＞0时，f ′(x)＜0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；

当x＜0时，f ′(x)＞0，f (x)在(－∞，0)上单调递增．

故f (x)在x＝0处取得最大值f (0)＝0．（5分）

（Ⅱ）①当x∈(－∞，0)时，＜1?(a－x)ex＞x＋1即a＞x＋，

令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－＞0，则g(x)在(－∞，0)上是增函数，g(x)＜g(0)＝1，a≥1．

②当x∈(0，＋∞)时，＜1?(a－x)ex＜x＋1，a＜x＋，由①知g′(x)＝，

令h(x)＝ex－x，h′(x)＝ex－1＞0，则h(x)＞h(0)＝1，g′(x)＞0，g(x)＞g(0)＝1，a≤1.

故a＝1．（13分）

解析：(Ⅰ)由已知得

（4分）

（Ⅱ）假设在x轴上存在定点
满足条件，设
，则

由
,得
.

∴
,即
，可知
.

此时
,∴
（8分）

,
,

=
，

.

∴存在点
,使得
.（13分）

（21）解析：（Ⅰ）当n＝1时，T1＝S1＝a1，则2a1＝4a1－2，a1＝1．

当n＝2时，2T2＝2(a1＋a1＋a2)＝4(a1＋a2)－6，a2＝3．

当n≥2时，2Tn－1＝4Sn－1－[(n－1)2＋(n－1)]，

2Sn＝2Tn－2Tn－1＝4Sn－(n2＋n)－4Sn－1＋(n－1)2＋(n－1)，

∴Sn＝2Sn－1＋n，则Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)，

an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1＝2an＋1，an＋1＋1＝2(an＋1)，

当n＝1时也符合，故数列{an＋1}是等比数列．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，

b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋，

令T＝＋＋＋…＋，则T＝＋＋…＋，

两式相减得T＝1＋＋＋…＋－＝－＜，T＜3，

∴b1＋b2＋…＋bn＜3．（13分）