2015年安庆市高三模拟考试（二模）

数学试题(理科) 参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

B

B

C

D

A

B

C

B



1.A【解析】
，选.

2.D【解析】显然
且
.当
时，椭圆长轴在轴上，则
，解得
；当
时，椭圆长轴在轴上，则
，解得
，选.

3.B【解析】因为
服从正态分布
，所以
，
，所以
.选.

4.B【解析】设公比为，由已知
，
得
解得
或
，但
不符合.选.

5.C【解析】、两点的极坐标分别为
、
，化为直角坐标为
、
，故
，选
.

6.D【解析】设
，
，
，
（
，
），根据题意可知
，
，
，
，
，且
. 所以
，
，
，故

.选.（注：也可用坐标法或特殊位置法求解.）

7. A【解析】该几何体的直观图如图所示.

.选.

8.B【解析】
. 因为
，
，所以的最小正整数值为5.选.

9.C【解析】因为
，所以
.

又
，
，所以
，故
.

当且仅当
时取等号. 选
.

10.B【解析】
. 因为
，

所以
，解得
.由
知
，
，
，.当
时，
；当
时，
；当
时，

；当
时，
.

故，符合条件的的值有2个.选.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)

11.
，【解析】
，由
，

得
，
.

12.
，【解析】由题意，可行域如图所示，

则
，
，所以
，故
.

13.
，【解析】函数
的值域为
；对任意的
，不等式
恒成立
，所以若命题
为真命题，则
；的范围为
.

14.
，【解析】由图可知，
，
，

由
得
，又
，

得
，由图知
，
，

由
，得
所以
，

阴影部分面积


.

15.（1），（2），（3），【解析】（1）因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转，而直线并不随着旋转，错误；（2）点
在新坐标系中的坐标应为
，错误；（3）
时，函数
的图象经过转轴后的标准方程是
，错误；

（4）直角坐标系
中的直线
，在坐标系
中倾斜

角为
，且经过点
，故转轴后的直线方程是

，正确；（5）证明如下：设
，
，

则
，

，正确.

三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．（本题满分12分）

【解析】（Ⅰ）在△
中，
，
，

，根据余弦定理可得
. ………2分

在△
中，因为
°，所以当
时，
，

根据正弦定理可得
，
.

的面积
. ……… 5分

（Ⅱ）在△
中，由
，得
，
， ……… 7分

所以

…9分

因为
，所以当且仅当
时，
有最大值.

从而
的最大值为
. ……… 12分

17．（本题满分12分）

【解析】（Ⅰ）
，
………4分

（Ⅱ）
可取0、1、2、3、4

=

………7分

∴
的分布列为

0

1

2

3

4

















 ………9分

+

∴
. ………12分

18.（本小题满分12分）

【解析】解一：（Ⅰ）因为侧面
为菱形，所以
，又
，

所以

，

从而
. ………5分

（Ⅱ）设线段
的中点为
，连接
、
，由题意知
平面
.因为侧面
为菱形，所以
，故可分别以射线
、射线
、射线
为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
，如图1所示.

设
，由
可知
，
，所以
，从而
，
，
，
. 所以
.

由
可得
，所以
. ………7分

设平面
的一个法向量为
，由
，
，

得
取
，则
，
，所以
. ………9分

又平面
的法向量为
，所以
.

故平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. ………12分

解二：（Ⅰ）连接
、
、
，设
交
于点
，

连
，如图2所示.

由
，
可得△
≌△
，

所以
.由于
是线段
的中点，所以
，

又根据菱形的性质
，所以
平面
，

从而
. ………5分

（Ⅱ）因为
，
，所以延长
、
交于点，

延长
、
交于点，且
，
.连接
，

则
.过点
作
的垂线交
于点
，交
于点
，

连接
，如图3所示.因为
，所以
.

由题意知
平面
，所以由三垂线定理得
，

故
是平面
与平面
所成二面角的平面角. ………8分

易知
，
，所以
.在
△
中，

(Ⅱ) 证明：由
，有
，
，设以
为切点的切线斜率为
，则其方程为
，代入
，得

得
，而

； ………9分

由若直线
、
的斜率互为相反数，则有

，

，

而点
不在
上，所以，直线
平行于点
处的切线. ………13分

当
时，要证
；

即证
＜0 ………6分

令

设
，

则
，∵
，∴

∴
在上单调递减，而
………10分

∴当
时，
，当
时，

即当
时，
，当
时

∴
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数

∴
时，
，即有

综上，
………13分

21.（本题满分13分）

【解析】(Ⅰ)先用数学归纳法证明：
（
）.

① 当
时，
，结论正确；

② 假设

时结论成立，即
，

则
时，
，所以
时，结论正确.

故，由①、②及数学归纳法原理，对一切的
，都有
成立. ………4分

所以
.

所以，当
时，
，即
.

当
时，
，当
时，

. ………13分