安徽省宿州市2015届高三第三次质量检测

数学试题（理科）

第Ⅰ卷 选择题 （共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i为虚数单位，若
，则
( )

A．1 　B． 2 C． 3 　 D．4

2. 若
都为命题，则“
或
为真命题”是“
且
为真命题”的（ ）

A．充分不必要条件 　B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 函数
的图像是（ ）

4. 已知三点
，则向量
在向量
方向上的投影为（ ）

A．
　B．
C．
D．

5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个

几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）

A．
B．3 C．
D．4

7．若实数
满足约束条件
，则点
落在圆
内的概率为( )

A．
　B．
C．
D．

8.若函数
，且
，
的最小值是
，则
的单调递增区间是（ ）

A.
B .

C．
D．

9. 已知抛物线
的焦点为
，准线为
，动点
在直线
上，线段
的中垂线为
，则直线
与抛物线
交点的个数为( )

A．0 　B．1 C．2 D．无法确定

10.各位数字之和为
的正整数（如：
）按从小到大的顺序构成数列
，若
，则
（ ）

A. 56 　B．72 C．83 D．124

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工有7人，则该样本容量为 人.

12.在极坐标系中，圆
上的点到直线
的距离的最大值为 .

13．设
，则二项式
展开式中含
项的系数是 .

14. 已知数列
满足
，
，则
的最小值为 .

15．定义：如果函数
在给定区间
上存在
，满足
，则称函数
是
上的“斜率等值函数”，
是函数
的一个等值点．例如函数
是
上的“斜率等值函数”，0是它的一个等值点．给出以下命题：

①函数
是
上的“斜率等值函数”；

②若
是
上的偶函数，则它一定是
上的“斜率等值函数”；

③若
是
上的“斜率等值函数”，则它的等值点x0≥
；

④若函数
是
上的“斜率等值函数”，则实数m的取值范围是
；

⑤若
是区间[a，b] (b＞a≥1)上的“斜率等值函数”，
是它的一个等值点，则
．

其中的真命题有 ．(写出所有真命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

16. (本小题满分12分)

在
中，角
的对边分别是
，且
.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围.

17. (本小题满分12分)

宿州市在举办奇石文化艺术节期间，为了提升与会者的赏石品味，组委会把聘请的
位专家随机的安排在“奇石公园”与“奇石展览中心”两个不同地点作指导，每一地点至少安排一人.

（Ⅰ）求
位专家中恰有
位被安排在“奇石公园”的概率；

（Ⅱ）设
分别表示
位专家被安排在“奇石公园”和“奇石展览中心”的人数，记
，求随机变量
的分布列和数学期望
.

18. (本小题满分12分)

设函数
，
.

（Ⅰ）若
在区间
上存在单调递减区间，求
的取值范围；

（Ⅱ）当
时,
在区间
上的最大值为
，求
在
上的最小值.

19. (本小题满分13分)

如图（1）所示，以线段
为直径的圆经过
两点，且
，
，延长
交于点
，将
沿
折起，使点
至点
位置得到如图（2）所示的空间图形，其中点
在平面
内的射影恰为线段
的中点
.

（Ⅰ）若线段
的中点分别为
，试判断
四点是否共面？并说明理由；

（Ⅱ）求平面
与平面
的夹角的余弦值.

20. (本小题满分13分)

已知椭圆
的离心率为
，且过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线与椭圆
相交于两不同点
、
，且
.在线段
上取点
，若
，证明：动点
在定直线上.

21.（本小题满分13分）

已知数列
满足
，
；数列
满足
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
且
＜
，则当
时，求证：
.

试题答案

第Ⅰ卷 选择题 （共50分）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

A

A

C

D

B

D

B

C



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.15； 12. 4； 13. -192； 14.
； 15. ①④⑤.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

16. 解：（Ⅰ）由正弦定理可得，

从而可得，
, 即

又
为三角形的内角，所以
,于是
，

又
亦为三角形内角，因此，
. …………6分

（Ⅱ）

由
可知,
，所以
，从而
，

因此，
，

故
的取值范围为
. …………12分

17.解：（Ⅰ）设
位专家中恰有i名被安排在“奇石公园”的事件为
，

，则
． …………4分

（Ⅱ）
的所有可能取值是
．

则随机变量
的分布列为

0

2

4



P









则
的数学期望
………………12分

18. 解:（Ⅰ）由条件知导函数
在
上存在函数值小于零的区间，只需
，解得
，故
的取值范围为
. …………5分

（Ⅱ）
的图像开口向上，且对称轴
，

所以必存在一点
使得
此时函数
在
上单调递减，在
单调递增，又由于
，

所以
，即
，此时，

由
，所以函数

. …………12分

19. 解：（Ⅰ）假设
四点共面. 因为
平面
，

所以
平面
，又平面

平面
，

且
平面
，所以
，这就与已知图（1）中
矛盾，

所以，
四点不共面. …………5分

（Ⅱ）因为
为圆的直径，所以
，

在
和
中，由
，可得
，

且
，所以
，连接
，则有
为正三角形，又
为
的中点，连接
可知
，又
底面
，所以
两两垂直.以
为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系
，则有

设平面
的一个法向量为
，则

令
，可得
，

同理可求得平面
的一个法向量为
，

， …………13分

因此，平面
与平面
的夹角的余弦值为
.

来学20. 解：（Ⅰ）由题意：

，解得
，

所求椭圆方程为
. …………4分

（Ⅱ）设点
的坐标分别为
.由题意得，记
，
，于是有

①

②

③

④

①
③得