2015山东省滕州市第二中学第一学期高三期中考试数学（理）试题

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域作答．

1． （2015?洛阳一模）集合 A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为（　　）

A．3, B．11, C．8, D．12

2．（2014?温州模拟）直线x?
y?1＝0的倾斜角α=（　　）

A．30°, B．60°, C．120°, D．150°

3．（2014?通州区二模）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（　　）

A．1 B．
　 C．
　 D．

4．已知
，则
＝（ ）

A．
B．
C．
D．

5．若方程
在区间
，

，且
上有一实根，则的值为（ ）

A．
　　　　 B．　　　 C．
　　　　 D．

6．函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）

A．
B．

C．
D．

7．用数学归纳法证明“
”
时，从“
到
”时，左边应添乘的式子是（ ）

A．
　　 B．
　　　 C．
　　　　　 D．

8．若正数，满足
，且
对任意，
恒成立，则的取值范围是（ ）

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

9．已知定义在上的函数
满足：对任意
，都有
成立，且
，设
，则
三者的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．对于函数
与
和区间，如果存在
，使
，则称
是函数
与
在区间上的“友好点”．现给出组函数：

①
，
； ②
，
；

③
，
； ④
，
；

其中在区间
，
上存在“友好点”的有（ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题分必做题和选做题．

（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．

11．函数
在
上的最小值分别是 ．

12．若实数，满足
则
的最大值为 ．

13．在等差数列
中，已知
，则该数列前项和
．

14．已知函数
的导函数为
，
与
在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程
在
上有两解，则实数的取值范围是 　　　　 ．

（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分．

15．（1）（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵A＝
，B＝
，则
＝ ．

（2）（选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）．若直线
与曲线
交于
两点，则
= 　　 ．

（3）（选修4-5：不等式选讲）函数
的最大值等于 　　 ．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
的定义域为集合，函数
的值域为集合

（1）求集合，；

（2）若
，求实数的取值范围．

17．（本小题满分12分）在
中，角、、
所对的边分别是、
、，则
；

（1）求
；

（2）若
，
，求
的面积．

18．（本小题满分12分）数列
的前项和为
，数列
是首项为
，公差为
的等差数列，且
，
，
成等比数列．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前项和
．

19．（本小题满分12分）已知向量
；令

（1）求
解析式及单调递增区间；

（2）若
，求函数
的最大值和最小值；

（3）若
=
，求
的值．

20．（本小题满分12分）如图，某小区有一边长为（单位：百米）的正方形地块
， 其中
是一个游泳池，计划在地块
内修一条与池边
相切的直路
（宽度不计），切点为
，并把该地块分为两部分．现以点
为坐标原点，以线段
所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边
满足函数
的图象，且点
到边
距离为
．

（1）当
时，求直路
所在的直线方程；

（2）当为何值时，地块
在直路
不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

21．（本小题满分14分）已知函数
．

（1）若
为函数
的极值点，求的值；

（2）讨论
在定义域上的单调性；

（3）证明：对任意正整数，
．

2015山东省滕州市第二中学第一学期高三期中考试

数学（理）试题参考答案

一、选择题：（共10小题，每小题5分，满分50分）

BCBAC ABDCD

二、填空题：（共5小题，每小题４分，满分24分）

11．
；　　12．
；　　13．
； 14．

15．（1）
（2）
（3）

14．（解法一）设

令
>0，则
，所以
在
单调递增，在
单调递减

要使满足题意，则

由（1），（3）可知

设
，
在
恒成立

所以
在
上单调递减，

所以

所以（2）对任意的
都成立

综上所述
．

（解法二）
在
上有两解
函数
有两交点

---表示右端点位置变化的函数

--------表示与x轴平行的一组直线，它的高低与
的值有关

所以一定在
的极值点右侧，同时

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

解：（1）集合：
， 解得：
或

集合B：
图象单调递增，
，则
．8分

（2）
，由
，结合数轴，
或
，

解得
或
． 13分

17．（本题满分12分）

解：由已知：（1）
，

又
，
．　 ．．…．5分

（2）
，由正弦定理得
，

由余弦定理，得
，得
，从而
．

　　　　　　　　　　　 ．．…．13分

18．（本题满分13分）解：（1）当
，时

又
，也满足上式，所以数列
的通项公式为

，设公差为
，则由
，
，
成等比数列，

得
解得
（舍去）或

所以数列
的通项公式为
．．…．7分

（2）解：

数列
的前项和

．．…．13分

19．解：

…2分

当
，
，即：
时，
单调递增，

增区间为：
，
…5分

（Ⅱ）由
得
，

当
时
当
时，
…9分

（3）
，

所以
。 …12分

20．解：（1）∵
，∴
，

过点
，
的切线的斜率为
，所以过点
的切线方程为

，即
当
时，则点
，
，

所以过点
的切线
的方程为：
．　　　　　　．．…．4分

（2）由（1）切线方程为
．令
，得
，故切线

与线段
的交点为
，
；又令
，得
，

所以
当
时，
，

所以函数
在区间
，
上单调递减；

所以
，∴切线
与线段
交点为
，

则地块
在切线
的右上部分的区域为一直角梯形，设其面积为
，

∵
，当且仅当
时取等号

∴当
时，
的最大值为．则当点
到边
距离为
时，

地块
在直路
不含游泳池那侧的面积取到最大，最大值为

． 14分

21．（本题满分14分）解：（1）因为
，

令
，即
，解得
，经检验：

此时，
，
，
，
递增；
，
，
，
递减，

在
处取极大值．满足题意．　　　　　　　　　　　　　　 ．．…．4分

（2）