山东省青岛二中2015届高三上学期期末考试文科数学试卷

第I卷（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数z满足
，则的共轭复数是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知实数
成等比数列，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设
表示不同的直线，
表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ）

①若
，且
，则
；

②若
，且
，则
；

③若
，则
；

④若
，且
，则
．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．定义域为R的函数
满足
，且当
时，
，则当
时，
的最小值为（ ）

A．
B．
C．0 D．

8．已知是自然对数的底数，函数
的零点为，函数
的零点为
，则下列不等式成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

9．已知不等式
对任意实数
都成立，则常数的最小值为（ ）

A． B． C．
D．

10．在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为，
是抛物线
上的点，若
的外接圆与抛物线
的准线相切，且该圆的面积为
，则
（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

第II卷 （共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）

11．如右图，某几何体的三视图均为边长为的正方形，则该几何

体的体积是_________________．

12．已知
，
，若
，
，

且
，则
．

13．已知点的坐标
满足
，过点的直线与圆
相交于
两点，则
的最小值为__________________．

14．函数
在区间
上单调递增，且在区间
上有零点，则实数的取值范围是___________________．

15．设
是双曲线
的两个焦点，是曲线
上一点，若
，
的最小内角为
，则曲线
的离心率为 ．

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．(本小题满分12分)

某市有
三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为
，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取
名进行“大学生学习部活动现状”调查．

（Ⅰ）求应从
这三所高校中分别抽取的“干事”人数；

（Ⅱ）若从抽取的
名干事中随机选名，求选出的名干事来自同一所高校的概率．

17．(本小题满分12分)

已知函数
．设
时
取到最大值．

（I）求
的最大值及的值；

（II）在
中，角
所对的边分别为
，
，且
，

求
的值．

18．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥
中
底面
，底面
是直角梯形，
为侧棱

上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示．

（I）证明：
平面
；

（II）证明：
平面
；

（III）求四棱锥
的体积．

19．(本小题满分12分)

已知数列
中，
（为非负常数），数列
的前项和为
，且
满足

（I）当
时，求数列
的通项公式；

（II）若
，求数列
的前项和
．

20．(本小题满分13分)

已知椭圆
的离心率为
，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为
．

（I）求椭圆
的方程；

（II）设直线与椭圆
交于，两点（，不是顶点），且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
，证明这样的直线恒过定点，并求出该点坐标．

21．(本小题满分14分)

已知函数

（I）求函数
在点
处的切线方程；

（II）求函数
单调递增区间；

（III）若存在
，使得
是自然对数的底数），求实数的取值范围．

参考答案：

19．解析：（1）解法1：由
，可知数列
是首项为，公比为3的等比数列，所以

综上可知，所求的取值范围为
．