山东省青岛二中2015届高三上学期期末考试理科数学试卷

时间：120分钟 总分：150分

第Ⅰ卷共50分

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数
对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.设集合
，则
（ ）

A.(1,2) B.[1,2] C.(1,2] D.[1,2)

3.在一次实验中，测得
的四组值分别是
、
、
、
，则与之间的回归直线方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

4.如图所示程序框图，其输出结果是
，则判断框中所填的条件

是（ ）

A.
B.
C.
D.

5.已知
．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　）

Ａ.
　　 Ｂ.

Ｃ.
　 Ｄ.

6.设
若3是
与
的等比中项，则
的最小值为 ( )

A.25 B.24 C.36 D.12

7.若直线
与曲线
有公共点，则b的取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D.

8.曲线
与直线
及
所围成的封闭图形的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知
满足


，每一对整数
对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为 （ ）

A.45 B.36 C.30 D.27

10.已知函数
满足
，当
时
，若在区间
内，函

数
与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷共100分

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 如右图, 在
中,
，是
边

上一点,
，则
的长为 .

12. 如右图，在正三棱锥A—BCD中，点E、F分别是AB、BC

的中点，
，则A—BCD的体积为 .

13. 若
，则
.

14．设
，若
，且

，则
的取值范围是 .

15. 已知
，我们把使乘积
为整数的数叫做“劣数”，则在区间
内的所有劣数的和为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）已知点
.

（Ⅰ）若
，求
和
的值；

（Ⅱ）若
，其中
为坐标原点，求
的值.

17．（本小题满分12分）有一种外形是正六棱柱的舞台设备，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用
表示更换费用.

（Ⅰ）求①号面需要更换的概率；

（Ⅱ）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；

（Ⅲ）写出的分布列，求
的数学期望.

18．（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥
中，

，
平面

（Ⅰ）求证：
平面PAC；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值大小.

19.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列
前项和为
，首项为
，

且
，
，
是等差数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，设

，求数列
的前项和
.

20．（本小题满分13分）已知函数
(
).

（Ⅰ）当
时，求
的极值；

（Ⅱ）当
时，求
单调区间；

（Ⅲ）若对任意
及
，恒有

成立，求实数的取值范围.

21．（本小题满分14分）设椭圆
的上顶点为，椭圆
上两

点
在轴上的射影分别为左焦点
和右焦点
，直线
的斜率为
，过点且与
垂直的直线与轴交于点，
的外接圆为圆
．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）直线
与圆
相交于
两点，且
，求椭圆方程；

（Ⅲ）设点
在椭圆
内部，若椭圆
上的点到点
的最远距离不大于
，求椭圆
的短轴长的取值范围．