泰州市2015届高三第三次调研测试

数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1． 设集合A?{3，m}，B?{3m，3}，且A?B，则实数m的值是 ▲ ．

【答案】0

2． 已知复数z?
(i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ ．

【答案】3

3． 已知实数x，y满足条件
则z?2x+y的最小值是 ▲ ．

【答案】?3

4． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在
中的频数为100，则n的值为 ▲ ．

【答案】1000

5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 ▲ ．

【答案】?4

6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为 ▲ ．

【答案】

7． 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2?8y的焦点，则F到双曲线
的渐近线的距离为 ▲ ．

【答案】

8． 在等差数列{an}中，若an+an+2?4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式an? ▲ ．

【答案】2n+1

9． 给出下列三个命题：

①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；

②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；

③“a?0”是“函数f(x) ??x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．

其中正确命题的序号为 ▲ ．

【答案】③

10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积

V? ▲ cm3．

【答案】

11． 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧
上的动点，则
的最小值为 ▲ ．

【答案】

12． 已知函数
若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 ▲ ．

【答案】（?5，0）

13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（?5，a）作圆x2+y2?2ax+2y?1?0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且
，则实数a的值为 ▲ ．

【答案】3或??

14．已知正实数x，y满足
，则xy的取值范围为 ▲ ．

【答案】

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．

（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；

（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，

求证：DE∥平面ABC1．

解：（1）因三棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，

故B1C⊥BC1．……………………………………………………………………… 2分

又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，

故B1C⊥平面ABC1． 5分

因B1C
平面BCC1B1，

故平面ABC1⊥平面BCC1B1． 7分

（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．

又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．

因DF
平面ABC1，AC1
平面ABC1，

故DF∥面ABC1． ………………… 10分

同理，EF∥面ABC1．

因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，

故平面DEF∥面ABC1．……………………………………………………………… 12分

因DE
平面DEF，

故DE∥面ABC1．…………………………………………………………………… 14分

16．（本小题满分14分）

已知函数
（其中A，
，
为常数，

且A＞0，
＞0，
）的部分图象如图所示．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若
，求
的值．

解：（1）由图可知，A?2，…………………………………………………………… 2分

T?
，故
，所以，f(x) ?
．…………………………………… 4分

又
，且
，故
．

于是，f(x) ?
．………………………………………………………… 7分

（2）由
，得
．………………………………………… 9分

所以，
………………………… 12分

=
．…………………………………… 14分

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(
，0)，F2(
，0)，且经过点(
，
)．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2?k3k4．

①求k1k2的值；

②求OB2+OC2的值．

解：（1）方法一

依题意，c?
，a2?b2+3，……………………………………………………… 2分

由
，解得b2?1(b2?
，不合，舍去)，从而a2?4．

故所求椭圆方程为：
．

离心率e?
．…………………………………………………………………… 5分

方法二

由椭圆的定义知，2a?
?4，

即a?2．…………………………………………………………………………… 2分

又因c?
，故b2?1．下略．

（2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(?x1，?y1)，

于是k1k2?
?
?
?
．………………… 8分

②方法一

由①知，k3k4?k1k2?
，故x1x2?
．

所以，(x1x2)2?(?4y1y2)2，即(x1x2)2?
?
，

所以，
?4．…………………………………………………………………… 11分

又2?
?
，故
．

所以，OB2+OC2 ?
?5．………………………………………… 14分

方法二

由①知，k3k4?k1k2?
．

将直线y?k3x方程代入椭圆
中，得
．…………………… 9分

同理，
．

所以，
?
?4．…………………… 11分

下同方法一．

18．（本小题满分16分）

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧
上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为
m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．

（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？

（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=
，试将运动休闲

区ABCD的面积S表示为
的函数，并求出S的最大值．

解：（1）设
，

在△
中，
，

即
，…………………………………………………… 2分

所以，
，………… 4分

所以
，当且仅当m=n=50时，
取得最大值，此时△
周长取得最大值．

答：当
都为50 m时，△
的周长最大． 6分

（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．

过
作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，

则
分别为AB，CD的中点，

所以
，由

，得
． 8分

在△
中，
．

又在△
中，
，故
． 10分

所以，

?

，
．………… 12分

（一直没有交代范围扣2分）

令
，
，

，
，

又y=
及y=
在
上均为单调递减函数，

故
在
上为单调递减函数．

因
＞0，故
＞0在
上恒成立，

于是，
在
上为单调递增函数． ……… 14分

所以当
时，
有最大值，此时S有最大值为
．

答：当
时，梯形
面积有最大值，且最大值为
m2．… 16分

19．（本小题满分16分）

已知数列{an}，{bn}中，a1=1，
，n∈N?，数列{bn}的前n项和为Sn．

（1）若
，求Sn；

（2）是否存在等比数列{an}，使
对任意n∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；

（3）若a1≤a2≤…≤an≤…，求证：0≤Sn＜2．

解：（1）当an?
时，bn?
?
．……………………………………… 2分

所以，Sn?
．……………………………………… 4分

（2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=
．

证明：在
中，令n=1，得b3=b1．

设an=
，则bn=
．………………………………………………… 6分

由b3=b1，得
．

若q=
，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=
．………………… 8分

若q
，则
，即q2 =1，矛盾．

综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=
． 10分

（3）因1=a1≤a2≤…≤an≤…，故
，0＜
≤1，于是0＜
≤1．

所以，
≥0，n?1，2，3，…．

所以，Sn?b1+b2+…+bn≥0．………………………………………………………… 13分

又，
?

?
≤
．

故，Sn?b1+b2+…+bn≤

?
?
＜2．

所以，0≤Sn＜2．………………………………………………………………… 16分

20．（本小题满分16分）

已知函数
（a∈R）．

（1）若a=2，求函数
在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；

（2）若
恰有一个零点，求a的取值集合；

（3）若
有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜
?1．

解：（1）由题设，
?
，故
在(1，e2)上单调递减．…………………… 2分

所以
在(1，e2)上至多只有一个零点．

又
＜0，故函数
在(1，e2)上只有一个零点．…………… 4分

（2）
?
，令
?0，得x?1．

当x＞1时，
＜0，
在
上单调递减；

当0＜x＜1时，
＞0，
在(0，1)上单调递增，

故
?f(1)?a?1．……………………………………………………… 6分

①当
?0，即a?1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分

②当
＜0，即a＜1时，f(x)＜0恒成立，不合题设；

③当
＞0，即a＞1时，一方面，
＞1，
＜0；

另一方面，
＜1，
≤2a?ea＜0(易证：ex≥ex)，

于是，f(x)有两零点，不合题设．

综上，a的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分

（3）证：先证x1+x2＞2．

依题设，有a?
?
，于是
．

记
?t，t＞1，则
，故
．

于是，x1+x2?x1(t+1)?
，x1+x2?2?
．

记函数g(x)?
，x＞1．

因
＞0，故g(x)在
上单调递增．

于是，t＞1时，g(t)＞g(1)?0．

又lnt＞0，所以，x1+x2＞2．…………………………………………………………… 13分

再证x1+x2＜
?1．

因f(x)?0
h(x)?ax?1?xlnx?0，故x1，x2也是h(x)的两零点．

由
?a?1?lnx?0，得x?
(记p?
)．

仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有

作函数h(x)?
，则
≥0，故h(x)单调递增．

故，当x＞p时，h(x)＞h(p)?0；当0＜x＜p时，h(x)＜0．

于是，ax1?1?x1lnx1＜
．

整理，得
＞0，

即，
＞0．

同理，
＜0．

故，
＜
，

，

于是，