眉山市高中2015届第二次诊断性考试

数学（理工类）参考答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



D

A

D

B

B

A

C

C

D

A



二、填空题：

11.

12.

13.

14.

15.



2

512+32

25

210

②③④



三、解答题：

16. 解析 (1)f(x)＝sin2ωx－(cos2ωx＋1)

＝sin(2ωx－)－， 2分

由f(x)的周期T＝＝，得ω＝2， 4分

∴f(x)＝sin(4x－)－，

由2kπ－≤4x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得－＋≤x≤＋(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间是

[－＋，＋](k∈Z)． 6分

(2)由题意，得cosx＝
≥

又∵0

∴－<4x－≤，

∴－

∴－1

∴f(x)的值域为(－1，]． 12分

17.解：随机猜对问题A的概率
，随机猜对问题B的概率
。

（1）设参与者先回答问题A，且恰好获得奖金元为事件M,

则

即参与者先回答问题A，且恰好获得奖金元的概率为
3分

（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

（ⅰ）先回答问题A，再回答问题B,参与者获奖金额
可取

则

∴
6分

（ⅱ）先回答问题B，再回答问题A,参与者获奖金额可取

则

∴
9分

∴

于是，当
＞
时，
＞
,先回答问题A，再回答问题B的期望值较大；

当
＝
时，
＝
，两种顺序获奖的期望值相等；

当
＜
时，
＜
,先回答问题B，再回答问题A的期望值较大；……12分

18.解(1)因为{
}为等差数列，设{
}的公差为d (d≠0)，

所以S1＝
，S2＝2
＋d，S4＝4
＋6d.

因为S1，S2，S4成等比数列且设其公比为q，

所以S1·S4＝S.

所以a1(4a1＋6d)＝(2a1＋d)2.所以2a1d＝d2.

因为公差d≠0.所以d＝2a1.

所以q＝
＝
＝4. 4分

(2)因为S2＝4，所以2a1＋d＝4.

又d＝2a1，所以a1＝1，d＝2.所以
＝2n－1. 6分

因为
＝ (－)， 8分

所以Tn＝[(1－)＋(－)＋
＋(－)]＝(1－)< . 10分

要使Tn<对所有n∈N*都成立，

则有≥，即m≥30.

因为m∈N*，所以m的最小值为30. 12分

19、（Ⅰ）证明：因为
平面
，所以
． 1分

因为
，又AC、AA1平面A1AC，AC
AA1=A，所以
平面
．

3分

因为，BC平面
，所以平面
平面
． 4分

（Ⅱ）解法1：因为
面
，CP平面ABC，所以
．

因为
，又AB、AA1平面A1A B B1，AB
AA1=A，所以
面
．

因为，A1P、B1P平面A1A B B1，所以
，
．

所以
即为二面角的
一个平面角． 7分

因为
，所以
，
，

所以
，
．

又因为直角梯形
可得
，

10分

所以，

所以，
，

所以二面角
的余弦值为
． 12分

解法2：如图所示，以C为坐标原点，
为轴，
为轴，过
作轴，建立空间直角坐标系，则可知
，
，
，
，
，

则
，
，
． 6分

设平面
的法向量为

则
取
； 8分

设平面
的法向量为

则
取
． 10分

所以二面角
的余弦值为
． 12分

20、解：（Ⅰ）由右焦点为
，上顶点为
得
，所以
．

所以椭圆方程为
． 2分

由已知可得直线BF的斜率
，因为
，所以直线AB的斜率
．

所以直线AB的方程为：
，联立
可求得点
．

因为
为直角三角形，
中点坐标
，且
，所以
外接圆的半径为
，所以
外接圆方程为
.……5分

(Ⅱ)设过点
的直线方程为
，

两点的坐标分别为
，
，

联立方程
得


，

，

因为
，
， 7分

所以



，

因为
，所以点
，

因为点在椭圆C上，所以有
，

化简得
，

因为
，所以得

，化简
，……10分

因为
，结合
，所以
，

因为

，

令
，所以

， 11分

令
，因为
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以
. 13分

21、（Ⅰ）解：函数
的定义域为
，
． 1分

当
时，
，所以
在
上为增函数，
没有极值．…2分

②当
时，
，

若
时，
；若
时，

存在极大值，且当
时，
．

综上可知：当
时，
没有极值；

当
时，
存在极大值，且当
时，
．…4分

（Ⅱ）解：因为，函数
的导函数
，所以
．

因为，
，所以，
，解得
，所以
．……6分

因为，
，使得不等式
成立，

因为，
，使得不等式
成立 ．

令
，则问题可转化为：
．…………………………7分

对于
，由于

当
时，有
，所以
，

所以，
．

所以，
，从而
在
上为减函数，所以
，

所以，
． 9分

（Ⅲ）证明：当
时，
令
，则
，

所以，
，且
在
上为增函数． 10分

设
的根为
，则
，即

当
时，
，
在
上为减函数；当
时，
，

在
上为增函数，

所以，
…………………12分

因为，
所以，
．

由于
在
上为增函数，

所以，
，

所以，
． 14分