宁波市2015届第一学期期末考试高三数学(理科)

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一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

1．已知集合
,
,且
则实数的不同取值个数为 ( )

A．2 B．3 C．4 D．5

2. 在△ABC中，则＂
＂是＂
＂的 ( )

A.充分而不必要条件　　B.必要而不充分条件　C.充要条件 D.既不充分又不必要条件　　

3. 若过点
的直线
与圆
有公共点，则直线
的斜率的取值范围为 ( )

A.
B.
C.
D.

4．下列命题中，错误的是 ( )

A．平行于同一平面的两个不同平面平行.

B．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.

C．如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直.

D．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行.

5. 函数
的图像与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，若要得到函数
的图像，只要将
的图像( )个单位.

A．
B．
C．
D．

6．若函数
分别是定义在上的偶函数、奇函数，且满足
,其中
，

则有( )

A．
B．

C．
D．

7．已知抛物线
，
为坐标原点，为其焦点，当点在抛物线
上运动时，

的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

8．如图四棱柱
中，
面
，

四边形
为梯形，
，且
过

三点的平面记为，
与的交点为
，则以下四个结论：

①
②
③直线
与直线
相交；

④四棱柱被平面分成的上下两部分的体积相等，其中正确的个数为( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

填空题（本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分,共36分）

9．已知
则

10. 若正项等比数列
满足
则公比

11．某空间几何体的三视图(单位：cm),如图所示，则此几何体

侧视图的面积为
，此几何体的体积为
.12．若实数
满足约束条件
，已知点
所表示的平面

区域为三角形，则实数
的取值范围为 ，又
有最大值8，则实数
= .

13. 过双曲线若
上任一点若向两渐近线作垂线，垂足分别为
，则
的最小值为 ．

14. 已知函数
(其中常数
)，若存在
，使得
则的取值范围为 ．

15. 已知
满足
且
,则
的最小值为 .

三、解答题（本大题共5小题,满分74分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤）

16．（本题满分15分）

在△
中，角、、
的对边分别为、
、，且满足
．

（Ⅰ）求角
的大小；（Ⅱ）若
,求
面积的最大值．

17.(本题满分15分)

如图，已知
平面
为等边三角形.

(Ⅰ) 求证:平面
⊥平面
；

(Ⅱ) 求二面角
的平面角的余弦值．

18. (本小题满分15分) 如图，设椭圆
的左、右焦点分别为
,过
作直线
交椭圆与
两点，若圆
过
，且
的周长为
.

（Ⅰ）求椭圆
和圆
的方程；

（Ⅱ）若
为圆
上任意一点，设直线
的方程为：
求
面积
的最大值.

19. (本小题满分15分)

如果数列
同时满足以下两个条件：(1)各项均不为0；(2)存在常数
，对任意
都成立，则称这样的数列
为“
类等比数列”.

（I）若数列
满足
证明数列
为“
类等比数列”，并求出相应的
的值；

（II）若数列
为“
类等比数列”，且满足
问是否存在常数
，使得
对任意
都成立？若存在，求出
，若不存在，请举出反例.

20．(本小题满分14分)

已知
为实数，对于实数和
，定义运算“”：
设

(1)若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；

(2)已知
，且当
时，
恒成立，求
的取值范围.