2015年普通高等学校招生统一考试（仿真卷）理科数学

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1、已知集合
，则集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知复数
，则的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、在等腰
中，角
的对边分别为
，若
，且
，则
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．条件不足，无法计算

4、函数
的零点所在的区间为（　　）

　 A．（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D．（3，4）

5、 一个平行四边形的三个顶点的坐标为（﹣1，2），（3，4），（4，﹣2），点（x，y）在这个平行四边形的内部或边上，则
的最大值与最小值的和等于（　　）

　 A． 8 B．6 C．
D．

6、执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的值为( )

A.23 B.11 C.5 D.2

7、以下四个命题中，真命题的个数是（　　）

①“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；

②存在正实数
，使得
；

③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；

④向量
，则“
”是“
”的充要条件

A．0 B．1 C．2 D． 3

8、一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的

表面积为（ ）

A．48 B．48+8

C．32+8
D． 80

9、已知函数
的最小正周期是，若其图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
的图象关于（　　）

A．点
对称 B．直线
对称 C．点
对称 D．直线
对称

10、将
五种不同的文件随机放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件
被放在相邻的抽屉内且文件
被放在不相邻的抽屉内的种数有（ ）

A．120 B．240 C．480 D．720

11．过抛物线
的焦点F的直线
交抛物线于A，B，交其准线于点C，若
，
，则抛物线的方程为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
被称为狄利克雷函数，则关于函数
有以下四个命题：

①
；②函数
是偶函数；③任意一个非零有理数，
对任意
恒成立；④存在三个点
，使得
为等边三角形

其中真命题的个数是 （ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）.

13、 若
的展开式中第四项为常数项，则

14、已知
，则
。

15、若
，则
的值使得过
可以做两条直线与圆
相切的概率等于 。

16、四棱锥
的底面为正方形，边长为，且
，在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为 。

三、解答题（本大题共8个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17、(本小题满分12分)

已知数列
满足
,
，
.

（1）求证：
是等差数列；（2）证明：
.

18. (本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是
,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.

(1)求乙得分的分布列和数学期望;

(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥
中,
平面
,

,且
,

点
在
上.

(1)求证:
;

(2)若二面角
的大小为
,求
与平面

所成角的正弦值.

20．（本题满分12分）已知椭圆C：
（
，定义圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”，若椭圆C的一个焦点为F（
，0），其短轴上的一个端点到F的距离为
。

求椭圆C的方程和“准圆”的方程；

点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个交点，求证：
。

21. （本题满分12分）设
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直.

(1)求的值;

(2) 若对于任意的
，
恒成立，求的范围.

(3)求证：

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号。

（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲

如图，四边形
是
的内接四边形，
的延长线与
的延长线交于点，且
.

（I）证明：
；

（II）设
不是
的直径，
的中点为
，且
，证明：
为等边三角形.

23、（本小题满分10分）【选修4-4：极坐标与参数方程】

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点C的极坐标为
，点是以C为圆心，半径长为2的圆上任意一点，点
，
是线段
的中点。当点在圆
上运动时，点
的轨迹为曲线
。

（1）求曲线
的普通方程；

（2）过曲线
上任意一点作与直线
（为参数）夹角为30°的直线，交
于点，求
的最大值与最小值.

24、（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数
．

（1）若不等式
的解集为
的子集，求实数的取值范围。

（2）若方程
只有一个解，求实数的值。

云南省部分名校高三2015届5月份统一考试理科数学答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

B

C

DABC

A

C

B

D

C

A

B



13、5 14、
15、
16、

17. 【解】（1）

是以3为首项，2为公差的等差数列.…………6分

（2）由（1）知：

，

…12分

18. 【解】(1)设乙答题所得分数为,则的可能取值为
.…………1分

-15

0

15

30















 且

………5分

乙的得分的分布列如右表,且
………8分

(2)由已知甲、乙至少答对2题才能入选, 记甲、乙入选的

事件分别为
,则由(1)知,
,

又甲回答3题可以视为独立重复试验,故
,

于是甲、乙至少有一人入选的概率
…………12分

19. 【解】(1)如图,设为
的中点,连结
,

则
,所以四边形
为平行四边形,

故
,又
,

所以
,故
,

又因为
平面
,所以
,

且
,所以
平面
,故有
…4分

(2)如图,以为原点,建立空间直角坐标系
.

则
,

设
,易得
,

设平面
的一个法向量为
,则
,

令
得
，
,即
.

又平面
的一个法向量为
,

由题知
,解得
,………9分

即
,而
是平面
的一个法向量,

设平面
与平面
所成的角为,则
.

故直线
与平面
所成的角的正弦值为
.…………12分

20．解：（1）由题意知c=
，a=
所以b=1，

所以椭圆C的方程为
+y
=1，椭圆C的准圆方程为x
+y
=4

（2）当直线
中有一条斜率不存在时，不妨设
的斜率不存在，

因为
与椭圆只有一个公共点，则其方程为
或
，则
的方程为
时，此时
与准圆交于

两点。此时
的方程为
或
，显然直线
与
垂直。同理可证当
的方程为
直线
与
垂直。

21、【解】(1)

由题设
，∴

，
.

(2)
,
，
，即

设
，即
.

①若
，
，这与题设
矛盾.

②若
方程
的判别式

当
，即
时，
.
在
上单减，
，不等式成立.

当
时，方程
，设两根为

，

当
,
单调递增，
，与题设矛盾.

综上所述，
.

(3) 由(2)知,当
时,
时,
成立.

不妨令
， 所以
，

累加得

∴
----------12分

23、解：（1）点M的轨迹的普通方程为：（x﹣3）2+y2=1．

（2）最大值为
；最小值为
. …………10分

24、解：（1）

当
，即
时，解集为空集，符合题意，故
符合题意

当
，即
时，解集为
，也符合题意，故
符合题意

当
，即
时，解得
，所以

又
，故

综上所述，实数的取值范围为

(2)画图可得