2015年高考预测金卷（安徽卷）理科数学

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数
，则化简复数
的结果是

A．

B．

C．

D．



2．已知p：α是第二象限角，q：sinα > cosα，则p是q的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件



C．充要条件

D．既不充分也不必要条件



3．如图，若程序框图输出的S是126，则判断框①中应为?

A．

B．



C．

D．



4．若直线

被圆
截得的弦长为4，则
的最小值为

A．

B．

C．2

D．4



5．已知约束条件
，若目标函数
恰好在点
处取得最大值，则a的取值范围是

A．

B．

C．

D．



6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零部件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

A．

B．



C．

D．



7．函数
的定义域为
，值域为
，则m的取值范围是

A．

B．

C．

D．



8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加。当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻。那么不同的发言顺序的种数为

A．360

B．520

C．600

D．720



9．已知
，
，且
，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为

A．

B．

C．

D．



10．设函数
的定义域是
，其图象如图，那么不等式
的解集为

A．

B．

C．

D．

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案写在题中横线上。

11．二项式
的展开式中，含x4的项的系数为__________。

12．给出下列命题：

①角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则
；

②存在
，使
；

③将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度，得到的函数关于
成中心对称；

④
与
在区间上有且只有一个公共点。

其中错误的命题为__________。（把所有符合要求的命题序号都填上）

13．由曲线
，直线
，直线
围成的封闭图形的面积为__________。

14．Sn是等比数列
的前n项和，a1 =
，9S3 = S6，设Tn = a1 a2 a3 …an，则使Tn取最小值的n值为__________。

15．存在两条直线
与双曲线
相交于四点A，B， C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为__________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且
，
，
。

（1）求
的值；

（2）求ΔABC的面积。

17．（本小题满分12分）

已知数列
的首项为a1 = 1，前n项和为Sn，并且对于任意的n ≥ 2，3Sn - 4、an、
总成等差数列。

（1）求
的通项公式；

（2）记数列
的前n项和为Tn，求Tn。

18．（本小题满分12分）

某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）。现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。

（1）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；

（2）求这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数；

（3）在这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望。

参考数据：若
，则

，

，

。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA = AB = BC = 2，AD = 1。M是棱SB的中点．

（1）求证：AM∥面SCD；

（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（3）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率
，且经过点
，抛物线
的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合。

（1）过F的直线与抛物线C2交于M、N两点，过M、N分别作抛物线C2的切线l1、l2，求直线l1、l2的交点Q的轨迹方程；

（2）从圆O：x2 + y2 = 5上任意一点P作椭圆C2的两条切线，切点分别为A、B，试问∠APB的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知函数
。

（1）当
时，求
在区间
上的最大值和最小值；

（2）如果函数
，
，
，在公共定义域D上，满足
，那么就称
为
，
的“活动函数”。

已知函数
，
。若在区间
上，函数
是
，
的“活动函数”，求a的取值范围。

理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

B

D

C

C

C

C

D

C



二、填空题

11．10

12．①②④

13．

14．5

16．



三、解答题

16．解：（1）



（2）

17．法一 解：依题意有

，即

即
，即
，

所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列，

所以
，所以

所以
，

所以

法二：可退位作差求得

（2）由（1）可知
所以
＝

＝
.

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为

，

高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）. …………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人. ……………（6分）

（Ⅲ）
，

，0.0013×100 000=130.

所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人.

随机变量
可取
，于是

,
,

. ………………………………（12分）

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

，
，
，
，
，
.

则
.

设平面SCD的法向量是
则

即

令
，则
，于是
.

，
.

AM∥平面SCD. ……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为
.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，

则
，即
.

平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为
.………………………………（8分）

（Ⅲ）设
，则
.

又，面SAB的法向量为
，

所以，
.

.

当
，即
时，
.………………………………………（13分）

20．解：（1）当
时，
，

；…………2分

对于
，有
，

∴
在区间[1, e]上为增函数，…………3分

∴
，
. …………5分

（2）①在区间（1，+∞）上，函数
是
的“活动函数”，则

令
<0，对
恒成立，

且
=
<0对
恒成立，

∵
…………7分

1）若
，令
，得极值点
，
，

当
，即
时，在（
，+∞)上有
，

此时
在区间(
，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
∈(
，+∞)，不合题意；…………9分

当
，即
时，同理可知，
在区间(1，+∞)上，有

∈(
，+∞)，也不合题意；…………9分

2） 若
，则有
，此时在区间(1，+∞)上恒有
，

从而
在区间(1，+∞)上是减函数；要使
在此区间上恒成立，只须满足

，所以
a
.…………11分

又因为

<0,
在(1, +∞)上为减函数，
，
…………12分

综合可知的范围是
.…………13分

21.（1）由于椭圆
的离心率e=
,则
，
，则
，椭圆
的方程为
将点
代入椭圆
的方程得到c=1,故所求椭圆
的方程为
其焦点坐标为
，则F(0，1),故抛物线
的方程为
……3分

易知直线MN的斜率一定存在，设为k，则直线MN的方程为y=kx+1,代入抛物线的方程得到
。设
，则
……4分

由于
，故直线
的斜率为
，
的方程为
即
，同理可得直线
的方程为
，令
，即
显然
，故
，即点Q的横坐标是
，点Q的纵坐标是

，即点Q（2k,-1）,故点Q的轨迹方程是y=-1 ……6分

（2）当这两条切线中有一条切线的斜率不存在时，根据对称性，不妨设点P在第一象限，则此时点P的横坐标为
，代入圆O的方程得点P的纵坐标是
，因此这两条切线所在的方程分别为
因此
,所以若角APB的大小为定值，则这个定值只能是
（8分）

当这两条切线的斜率都存在时，设点P
，过点P的切线的斜率为，则切线方程为

，由于直线
是椭圆
的切线，故
整理得：
……10分

设切线PA，PB的斜率分别为
，则
是上述方程的两个实根，故
又点P
在圆
上，故
所以
，所以
，……12分

综上可知，角APB的大小为定值，且这个定值为
。……13分