2015广东省高考压轴卷文科数学

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：球的表面积公式
，其中是球的半径．

锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
为锥体的高．

线性回归方程
中系数计算公式为
，
．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合
，
，则

A． B．
C．
D．

2．函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

3．若复数
，
，则复数
的模是

A． B．
C． D．

4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A．
B．
C．
D．

5．已知平面向量
，
，且
，则

A．
B． C．
D．

6．椭圆
的实轴长是

A．2 B．3 C．4 D．6

7．经过坐标原点，且与圆
相切于第四象限的直线方程是

A．
B．
C．
D．

8．阅读如图所示的程序框图，若输入
，则输出
等于

A．4 B．9 C．16 D．25





第7题图

第8题图



9．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为

A．
B．
C．
D．

10．设函数
，则

A．
为
的极小值点 B．
为
的极大值点

C．
为
的极小值点 D．
为
的极大值点

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．已知
是递增等差数列，
，且
，
，
成等比数列，则此数列的公差
_________．

12．已知变量，满足约束条件
则
的最小值为_________．

13．已知
分别是
的三个内角
所对的边，若
，
，
，则
_________．

（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线
经过圆
的圆心且与直线
平行，则直线
与极轴的交点的极坐标为_________．

15．（几何证明选讲选做题）如图，过圆外一点作圆的切线
（为切点），再作割线
依次交圆于，
．若
，
，
，则
________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
的最大值为
，且最小正周期为
．

（1）求
的解析式；

（2）若
,
,求
的值．

17．（本小题满分13分）

甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：

月份

1

2

3

4

5



甲的纯收入

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8



乙的纯收入

2.8

3.4

3.8

4.5

5.5



（1）由表中数据直观分析，甲、乙两人中谁的纯收入较稳定?

（2）求关于的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；

（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间
中的概率．

18．（本小题满分14分）

如图，直三棱柱
中，
，为
中点，为
上一点，且
．

（1）求证：
；

（2）若
，求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分13分）

设数列
的前项和为
，且
满足
,
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前项和
.

20．（本小题满分14分）

设
，抛物线方程为
．如图所示，过焦点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为
，已知抛物线在点
的切线经过点
．

（1）求满足条件的抛物线方程；

（2）过点
作抛物线
的切线，若切点在第二象限，求切线的方程；

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）讨论函数
的单调区间；

（2）当
时，若函数
在区间
上的最大值为
，求的取值范围．

2015广东省高考压轴卷

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．【 答案】A

【 解析】
．

2．【 答案】B

【 解析】∵
，∴
，∴函数
的定义域是
．

3．【 答案】A

【 解析】∵
，∴复数
的模是
．

4．【 答案】C

【 解析】A是奇函数但不是增函数；B既不是奇函数也不是偶函数；C既是奇函数又是增函数；D是偶函数．

5．【 答案】D

【 解析】 ∵
，∴
，∴
．

6．【 答案】D

【 解析】实轴长
．

7．【 答案】B

【 解析】依题意，设所求直线方程为
，即
，∵圆心到直线的距离为
，解得
或
（舍去），∴所求直线方程是是
．

8．【 答案】C

【 解析】根据程序框图，
．

9．【 答案】B

【 解析】根据三视图，该几何体为
个球，半径为1．∴它的表面积为
．

10．【 答案】C

【 解析】 由
，得
，又
时，
，
时，
，∴
在
时取得极小值．

二、填空题

11．【 答案】4

【 解析】依题意，
成等比数列，∴
，解得
（舍去）或
．

12．【 答案】2

【 解析】如图，作出可行域，当目标函数直线经过点A时取得最大值．由
解得
，∴
．

13．【 答案】

【 解析】由余弦定理得
，∵
，
，∴
，∴由正弦定理得
．

14．【 答案】

【 解析】
化为直角坐标方程
，圆心为
，
化为直角坐标方程
，∴直线
方称为
，直线
与极轴的交点的极坐标为
．

15．【 答案】8

【 解析】由切割线定理可得
，∴
．∵
∽
，∴
，∴
．

三、解答题

16．解：（1）∵
的最大值为
，

∴
………………………………………………………………………………………………2分

∵
的最小正周期为

∴

又

∴
………………………………………………………………………………………………4分

∴
……………………………………………………………………………………5分

（2）∵

∴
………………………………………………………………………………………………7分

又

∴
…………………………………………………………9分

∴

………………………………………………………………………12分

17．解：（1）由表中数据可知，甲的纯收入比乙的纯收入集中，故甲的纯收入较稳定．……………2分

（2）∵
，

，

，

∴

，…………………………………………………………5分

． ……………………………………………………………6分

∴所求回归方程为
. ……………………………………………………………7分

令
，得
，

∴预测甲在6月份的纯收入为5.27千元．……………………………………………………………8分

（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月的基本事件有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10种 …………………………………………………10分

记“恰有1个月的纯收入在区间
中”为事件，其中有：
，
，
，
，
，
，共6种 ………………………………………………………………………………………12分

∴恰有1个月的纯收入在区间
中的概率为
………………………………13分

18．（1）证明：∵
是直三棱柱

∴

又

∴
………………………………………………………………………………………………2分

∵
，

∴
∽

∴

即
………………………………………………………………………………………………4分

又

∴
……………………………………………………………………………………6分

（2）

…………………………………………………………………………………9分

∵

∴
为三棱锥
的高…………………………………………………………………………10分

∴

……………………………………………………………………………………………13分

19．解：（1）∵
①

∴当
时，
② …………………………………………………………2分

①-②得

∴
…………………………………………………………………………………………4分

∵
时，得
，∴
，符合上式 ………………………………………………5分

∴数列
的通项公式为
………………………………………………………………6分

（2）∵
……………………………………………………………………7分

∴
③ …………………………………………………………………………8分

∴
④ ……………………………………………………………………9分

④-③得

…………………………………………………………12分

∴
………………………………………………………………………………13分

20．解：（1）由
得
，

当
得
，
点的坐标为
，……………………………………………………2分

，
，

过点
的切线方程为
即
，…………………………………………………5分

令
得
，

∴
即
，即抛物线的方程为
…………………………………………………7分

（2）设切点
．由
，知抛物线在
点处的切线斜率为
，…………9分

∴所求切线方程
，

即
． ……………………………………………………………………………11分

∵点
在切线上，

∴
，

∴
（舍去）或
． …………………………………………………………13分

∴所求切线方程为
． ……………………………………………………………14分

21．解：（1）
．…………………………………………………………………1分

①
时，
，
在
上单调递增；

②
时，
．

令
，得
，
．

∴
时，
；
时，
；
时，
．

∴
在
，
上单调递增；在
上单调递减．…………………………7分

（2）当
时，

令
得
……………………………………………………………………8分

将，
，
变化情况列表如下：







2









0



0







↗

极大

↘

极小

↗



…………………………………………………………………………………………………………10分

由此表可得

，
…………………………………………11分

又
……………………………………………………………………………………12分

故区间
内必须含有
，即的取值范围是
． ………………………………14分