2015年高考模拟考试(山东卷)数学(理科)

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么
；如果事件A，B独立，那么
.

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

2.若
（i为虚数单位），则z的共轭复数是

A.
B.
C.
D.

3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：

①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

④垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

4.“
”是“
”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.执行如图所示的程序框图，输出的k值为

A.7 B.9

C.11 D.13

6.某餐厅的原料费支出与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为
，则表中的m的值为

A.50 B.55 C.60 D.65

7.已知
是双曲线
的两个焦点，以
为直径的圆与双曲线一个交点是P，且
的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是

A.
B.

C.2 D.5

8.在椭圆
内，通过点
且被这点平分的弦所在的直线方程为

A.
B.

C.
D.

9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有

A.48种 B.72种

C.96种 D.108种

10.若至少存在一个
，使得关于的不等式
成立，则实数m的取值范围为

A.
B.

C.
D.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在
中的学生人数是_________.

12.函数
的定义域是_________.

13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为
的扇形，则该几何体的体积为__________.

14.设
是单位向量，且
的最大值为________.

15.设函数
的定义域为R，若存在常数
对一切实数均成立，则称
为“条件约束函数”.现给出下列函数：

①
；②
；③
；

④
是定义在实数集R上的奇函数，且对一切
均有
.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

在
中，边a,b,c的对角分别为A,B,C；且
，面积
.

（I）求a的值；

（II）设
，将
图象上所有点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变）得到
的图象，求
的单调增区间.

17. （本小题满分12分）

某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为
，乙队中3人答对的概率分别为
，
，
，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用
表示乙队的总得分.

（I）求
的分布列和数学期望；

（II）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.

18. （本小题满分12分）

直三棱柱
中，
，
，点D在线段AB上.

（I）若
平面
，确定D点的位置并证明；

（II）当
时，求二面角
的余弦值.

19. （本小题满分12分）

已知数列
满足
，

（I）证明：数列
是等比数列，并求出
的通项公式；

（II）设数列
满足
，证明：对一切正整数
.

20. （本小题满分13分）

已知抛物C的标准方程为
，M为抛物线C上一动点，
为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，
的面积为
.

（I）求抛物线C的标准方程；

（II）记
，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为 “稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知关于函数
，

（I）试求函数
的单调区间；

（II）若
在区间
内有极值，试求a的取值范围；

（III）
时，若
有唯一的零点
，试求
.

（注：
为取整函数，表示不超过的最大整数，如
；以下数据供参考：
）

2015届高三教学质量调研考试

理科数学参考答案

一、选择题ADDBC CDCBA

二、填空题

（11）50 （12）
（13）
（14）
（15）①③④

三、解答题

（16）解：（Ⅰ）在
中

…………2分

∴
…………4分

（Ⅱ）∵

又∵
∴

……6分

∴
，………… 8分

将
图象上所有点的横坐标变为原来的
，得到
，…………9分

所以
的单调增区间为
…………10分

即
…………11分

的单调区间为
…………12分

（17）解：（Ⅰ）由题意知，
的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分

的分布列为：

0

10

20

30















…………6分

…………7分

（18）（Ⅰ）证明：当D是AB中点时，
∥平面
.

连接BC1，交B1C于E，连接DE．

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

所以侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，

所以 DE// AC1． …………………………………2分

因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD，

所以 AC1∥平面B1CD． ………………………………………4分

（Ⅱ） 由
，得AC⊥BC，

以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．

则B(6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A1(0, 8,8)，B1(6, 0, 8)．

设D(a, b, 0)（
，
），…………………5分

因为 点D在线段AB上，且
， 即
．

所以
．…………………7分

所以
，
．

平面BCD的法向量为
．

设平面B1CD的法向量为
，

由
，
， 得
，

所以
，
． …………………10分

设二面角
的大小为
，
．

所以二面角
的余弦值为
．……………………………12分

（19）解：
由
，可得
…………2分

是首项为2，公比为2的等比数列，

即
…………3分

（20）(I)由题意,

抛物线C的方程为
---------------------------------------------------------------------3分

(II) 设
,直线MN的方程为

联立

得

,
,-----------------------------------------------------------------6分

由对称性,不妨设
,

(i)
时,
,
同号,

又

不论a取何值,t均与m有关,即
时A不是“稳定点”; -------------------------9分

(ii)
时,
,
异号,

又

所以,仅当
,即
时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点,即抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分

（21）解：（I）由题意
的定义域为

（i）若
，则
在
上恒成立，
为其单调递减区间；

（ii）若
，则由
得
，

时，
，
时，
，

所以
为其单调递减区间；
为其单调递增区间；-----------------------4分

（II）

所以
的定义域也为
，且

令
(*)

则
(**)----------------------------------------------------------------------------6分

时,
恒成立,所以
为
上的单调递增函数，又
，所以在区间
内
至少存在一个变号零点
，且
也是
的变号零点，此时
在区间
内有极值. ----------------------------------------8分

时
,即在区间(0,1)上
恒成立,此时,
无极值.

综上所述,若