高三第二次质量检测文科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．

3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设复数
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
是两个实数，命题“
中至少有一个数大于”成立

的充分不必要条件是

A．
B．

C．
D．

4．右边程序框图中，若输入
，
，则输出
的

值分别是

A．
B．
C．
D．

5．已知双曲线
的一条渐近线

与直线
垂直，则双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．

6．已知函数
的图象向左平移
个单位后得到

，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．在区间
上任取一个数，则使得
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何

体的体积为

A．
B．

C．
D．

9．已知函数
则
的

大致图象是

10．设函数
是定义在上周期为2的函数，且对任意的实数，恒有
，当
，
．若
在
有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．

11．已知
，则
= ；

12．设
满足约束条件
,则
的最大值为 ；

13．对大于的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
仿此，若
的“分裂”数中有一个是
，则
的值为 ；

14．直线
截圆
所得劣弧所对的圆心角的大小为________；

15．已知集合
，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①
；　　 ②
；

③
； ④
．

其中是“垂直对点集”的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）若是第一象限角，且
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有
和
两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：

型号

甲样式

乙样式

丙样式



300ml



2500

3000



500ml

3000

4500

5000



按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个．

（1）求的值；

（2）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为
的样本，从这个样本中任取个杯子，求至少有个300ml的杯子的概率．

18.（本小题满分12分）

在边长为4的菱形ABCD中，
，点E，F分别是边CD，CB的中点，
．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA,PB,PD，得到如图5的五棱锥
，且
．

（1）求证：
平面POA；

（2）求四棱锥
的体积．

19．（本小题满分12分）

已知数列
是等比数列，首项
，公比
，其前项和为
，且
，
，
成等差数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，
为数列
的前项和，若
恒成立，求的最大值．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为
，A,B是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A，B的动点，且△ADB面积的最大值为12．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求证：当点
在椭圆C上运动时，直线
与圆
恒有两个交点，并求直线
被圆O所截得的弦长L的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

（2）设函数
，求函数
的单调区间；

（3）若
，在
上存在一点
，使得
成立，求的取值范围．高三第二次质量检测

文科数学参考答案

一、DABCC CCDAC

二、11．1－9 12．
13．
14．
15③④．

三、16、（1）解：

…………………………1分

…………………………2分

…………………………3分

． …………………………4分

∴ 函数
的最小正周期为
． ………………………5分

（2）

∵
， ∴
． …………………………6分

∴
．

∴
． ………………………7分

∵是第一象限角，

∴
． ……………………8分

∴
． ………………………9分

∴
………………………10分

………………………11分

． …………………………12

17．解：（1）设该厂本月生产的甲样式的杯子为个，在丙样式的杯子中抽取了个，

由题意
，
……3分

在甲样式的杯子中抽取了
个，

，解得
，
． ………6分

（2）设所抽样本中有个
的杯子，

，
． ………8分

也就是抽取的
个样本中有个
的杯子，分别记作
;
个
的杯子，分别记作
． ………9分

则从中任取个300ml的杯子的所有基本事件为
,
,
,

,
,
,
,
,
,
，共
个．…10分

其中至少有个300ml的杯子的基本事件有
,
,
,
,

,
,
,共
个； ………11分

至少有个300ml的杯子的概率为
． ………12分

18．解析：（1）证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，

∴BD∥EF． …………………………1分

∵菱形ABCD的对角线互相垂直，

∴
． …………………………2分

∴
． …………………………3分

∴
，
． …………………………4分

∵
平面
，
平面
，
，

∴
平面POA． …………………………5分

∴
平面POA． …………………………6分

（2）解：设
，连接
，

∵
，

∴△
为等边三角形． …………………………7分

∴
，
，
，
．

在R t△BHO中，
， …………………………8分

在△PBO中，
， ∴
．

∵
，
，
平面
，
平面
，

∴
平面BFED． …………………………10分

梯形BFED的面积为
，∴四棱锥
的体积
．………………12分

19．解：（ 1）法一：由题意可知：

，

即
，于是
，
，
； ……… 3分

，
． ……… 4分

（1）法二：由题意可知：

当
时，不符合题意； ……… 1分

当
时，
，

，
，
，……… 2分

，
, ……… 3分

，
． ……… 4分

（2）
，
，
， ……… 5分

（1）

（2）

得：
……… 6分

……… 8分

恒成立，只需
……… 9分

为递增数列， 当
时，
， ……… 11分

，的最大值为． ……… 12分

圆心
到直线
的距离

(
)

直线
与圆
恒有两个交点 …………9分

…………10分

…………13分

21．（1）当
时，
，
，切点