高三复习阶段性诊断考试试题理科数学（解析版）

本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

1. 如果事件A，B互斥，那么
；如果事件A，B独立，那么
.

2.球的体积公式
，其中表示球的半径.

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知复数
，则
等于

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】：B

（2）设集合

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】：A

（3）已知函数
的图象过点
，则
的图象的一个对称中心是

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】：B

（4）下列四个结论：

①命题“
”的否定是“
”；

②命题“若
”的逆否命题为“若
”；

③“命题
为真”是“命题
为真”的充分不必要条件；

④若
，则
恒成立.

其中正确结论的个数是

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

【答案】：C

（5）已知函数
是函数
的导函数，则
的图象大致是

(A) (B) (C) (D)

【答案】：A

（6）如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】：C

（7）已知函数
的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

【答案】：D

（8）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为

(A) 432 (B) 288 (C) 216 (D) 144

【答案】：B；法一：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有
种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有
种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有
种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有
种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有
种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有
种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有
种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B；法二：
．

（9）已知
，不等式
在
上恒成立，则实数的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】：A

（10）已知双曲线
的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线
的准线被双曲线截得的弦长是
（为双曲线的离心率），则的值为

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】：B

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

【答案】：

第11题图

（12）若
，函数
有相同的最小值，则

___________．

【答案】：

（13）设
是单位向量，且
的最大值为________．

【答案】：

（14）在实数集中定义一种运算“”，对任意
，
为唯一确定的实数，且具有性质：

（Ⅰ）对任意
，
；

（Ⅱ）对任意
，
．

关于函数
的性质，有如下说法：①函数
的最小值为
；②函数
为偶函数；③函数
的单调递增区间为
．

其中所有正确说法的序号为 ．

【答案】：①②

（15）已知函数
，点O为坐标原点，点
，向量
是向量
与
的夹角，则
的值为__________.

【答案】：

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

（16）（本小题满分12分）

设向量
，
，其中
，
，函数

的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为
，在原点右侧与轴的第一个交点为
.

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）在
中，角A，B，C的对边分别是
，若
，

且
，求边长．

解：解：（I）因为

， -----------------------------1分

由题意
， -----------------------------3分

将点
代入
，得
，

所以
，又因为
-------------------5分

即函数的表达式为
． ---------------------6分

（II）由
，即

又
------------------------8分

由
，知
，

所以
-----------------10分

由余弦定理知

所以
----------------------------------------------------12分

（17）（本小题满分12分）

在四棱锥
中，
平面
，是
的中点，

,
,
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

解：（Ⅰ）取
的中点,连接
,
,

则
∥
.

因为

所以
.………………………………1分

因为
平面
，
平面

所以

又

所以
⊥平面
……………………………………………………………3分

因为
平面
,所以
⊥
；

又
∥
，所以
；

又因为
,
；

所以
⊥平面
……………………………………………………………5分

因为
平面
，所以
…………………………6分

（注：也可建系用向量证明）

（Ⅱ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
.

则
,
,
，
,
,

，
.

………………………………………………8分

设平面
的法向量为
，则
所以

令
.所以
. ……………………9分

由（Ⅰ）知
⊥平面
,
平面
,所以
⊥
.

同理
⊥
.所以
平面

所以平面
的一个法向量
. …………………10分

所以
， ……………………11分

由图可知，二面角
为锐角，

所以二面角
的余弦值为
． ……………………12分

（18）（本小题满分12分）

某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛