蒋垛中学2015届高三第一次诊断性考试数 学 试 卷

参考公式： 样本数据
，
，… ，
的方差
，其中
=
．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．设集合
，
，则
= ▲ ．

2．若
（
，i为虚数单位），则
的值为 ▲ ．

3． 命题：“
，
”的否定是 ▲ ．

4． 在平面直角坐标系
中，抛物线
上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．

5． 设实数，满足
则
的最大值是 ▲ ．

6． 如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是 ▲ ．

7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：

城市

空气质量指数(AQI)





第1天

第2天

第3天

第4天

第5天



甲

109

111

132

118

110



乙

110

111

115

132

112



则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．

8． 已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为
．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ．

9． 将函数

的图象上所有点向右平移
个单位后得到的图象关于原点对称，则等于 ▲ ．

10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［an(S4m+1)］=9，则+的最小值是 ▲ ．

11．若向量
，
，且
，则
的值是 ▲ ．

12．平面直角坐标系
中，直线
是曲线
的切线，则当＞0时，实数的最小值是 ▲ ．

13．已知函数f(x)＝
若
，则实数k的取值范围为 ▲ ．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
，则
▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分) 如图，在四棱柱
中，
，
，且
．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：
⊥平面
．

16．(本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=
．

（1）求tanB的值；

（2）若
，求△ABC的面积．

17．(本小题满分14分)

已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－+1．

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．

18．(本小题满分14分)

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．

（1）求关于的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

19．(本小题满分16分)

已知
的三个顶点
，
，
，其外接圆为
．

(1)若直线过点，且被
截得的弦长为2，求直线的方程；

(2)对于线段
上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点
，使得点是线段
的中点，求
的半径的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知数列
满足
，
，
，
是数列
的前项和．

(1)若数列
为等差数列．

（ⅰ）求数列的通项
；

（ⅱ）若数列
满足
，数列
满足
，试比较数列
前项和
与
前项和
的大小；

(2)若对任意
，
恒成立，求实数的取值范围．

南莫中学2015届高三第一次练习答案 09.06

1．设集合
，
，则
= ▲ ．

2．若
（
，i为虚数单位），则
的值为 ▲ ．

3． 命题：“
，
”的否定是 ▲ ．
，
．

4． 在平面直角坐标系
中，抛物线
上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．3．

5． 设实数，满足
则
的最大值是 ▲ ．7．

6． 如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的

值是 ▲ ．
．

7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：

城市

空气质量指数(AQI)





第1天

第2天

第3天

第4天

第5天



甲

109

111

132

118

110



乙

110

111

115

132

112



则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）． 乙．

8． 已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为
．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ．
．

9． 将函数

的图象上所有点向右平移
个单位后得到的图象关于原点对称，则等于 ▲ ．
．

10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［an(S4m+1)］=9，则+的最小值

是 ▲ ．
．

11．若向量
，
，且
，则
的值是 ▲ ．1．

12．在平面直角坐标系
中，直线
是曲线
的切线，则当＞0时，实数的最小值是 ▲ ．
．

13．已知函数f(x)＝
若
，则实数k的取值范围为 ▲ ．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
，则
▲ ．4

二、15．(本小题满分14分) 如图，在四棱柱
中，
，
，且
．

（1）求证：
∥平面
；（2）求证：
⊥平面
．

（1）证明：在四棱柱
中，
，

平面
，
平面
，

所以
平面
． ………………6分

（2）证明：在四棱柱
中，四边形
为平行四边形，又
，故四边形
为菱形．

从而
．……………… 9分

又
，而

，

平面
，

所以
平面
．………… 14分

16．(本小题满分14分) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=
． （1）求tanB的值； （2）若
，求△ABC的面积．

（1）解：由正弦定理，得
，…………………2分

即
． 所以
．

从而
． 因为
，所以
．…………4分

又
，由（1）知，
，解得
．………6分

（2）解：由（1），得
，
，
． ……………………10分

由正弦定理，得
．……………………………12分

所以△ABC的面积为
． ……………………14分

17．(本小题满分14分)已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－+1．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．

（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)的单调性即可．

f ′(x)＝2＋，令f ′(x)＝0，得x＝－a． ………………………2分

①当a≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)是单调递增． ……………………… 4分

②当a＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a )是单调递增．

x ∈(－a，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a，0)是单调减．……………………… 6分

综上所述：当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a＞0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a，0)，(0，a)．…………………… 7分

（2）解：因为f(x)为奇函数，所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2 x－＋1)＝2x＋ －1．… 9分

①当a＜0时，要使f(x)≥a－1对一切x＞0成立，即2x＋ ≥a对一切x＞0成立．

而当x＝－＞0时，有－a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．所以a＜0不成立．……………11分

②当a＝0时，f(x)＝2x－1＞－1=a－1对一切x＞0成立，故a＝0满足题设要求．…12分

③当a＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)是减函数，在(a ，+∞)是增函数．

所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0时也满足题设要求． ………………… 13分

综上所述，a的取值范围是
．…………………………………………………… 14分

18． (本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

18．(1)设扇环的圆心角为(，则
，所以
，…4分

(2) 花坛的面积为
．…7分

装饰总费用为
， ………………9分

所以花坛的面积与装饰总费用的比
， ………11分

令
，则
，当且仅当t=18时取等号，此时
．

答：当
时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．………………………………………14分

(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)

19．(本小题满分16分) 已知
的三个顶点
，
，
，其外接圆为
．

(1)若直线过点，且被
截得的弦长为2，求直线的方程；

(2)对于线段
上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点
，使得点是线段
的中点，求
的半径的取值范围．

19．(1)线段
的垂直平分线方程为
，线段
的垂直平分线方程为
，

所以
外接圆圆心
，半径
，

圆的方程为
． ………………………………………………4分

设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以
．

当直线垂直于轴时，显然符合题意，即
为所求；…………………………………6分

当直线不垂直于轴时，设直线方程为
，则
，解得
，

综上，直线的方程为
或
． ………………………………8分

(2)直线
的方程为
，设
，

因为点是线段
的中点，所以
，又
都在半径为的圆上，

所以
即
…………………10分

因为该关于
的方程组有解，即以
为圆心，为半径的圆与以
为圆心，

为半径的圆有公共点，所以
,…………12分

又
，所以
对