2015年高三教学测试（二）

文科数学 参考答案

一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1．C； 2．A； 3．D； 4．C；

5．B; 6．B; 7．A; 8．D．

8．【解析】由题意，对任意的非零实数
，都存在唯一的非零实数
，使得
成立，也即函数图象除
外，其余均是一个函数值对应两个自变量，结合图象可知：
，即
当
时始终有解，

因此
，
，因此
或
．

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）

9.
，
10.
，
11.3，1 12.
，

13.
14.
15.

15.【解析】四边形
和
的面积分别为4和6，长方体在平面内的射影可由这两个四边形在平面内的射影组合而成.显然，
. 若记平面
与平面所成角为，则平面
与平面所成角为
. 它们在平面内的射影分别为
和
，所以，
（其中，
），因此，
，当且仅当
时取到. 因此，
.

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分14分）

三角形
中，已知
，其中，角
所对的边分别为
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围．

16.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：
，

∴由余弦定理得：
，

∴
． …6分

（Ⅱ）由正弦定理得：

又?
，∴
，

∴
，

而
，∴
，

∴
，∴
. …14分

17．（本题满分15分）

已知数列
是等比数列，且满足
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
是递增数列，且
，求数列
的前n项和
．

17.【解析】（Ⅰ）因为
是等比数列，所以
，又

因此
，
是方程
，可解得：

，或
，因此
，或

所以，
或
…9分

（Ⅱ）数列
是递增数列，所以
，

…15分

18．（本题满分15分）

如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，、、分别为
、
、
的中点，
、分别为线段
、
上的动点，且有
．

（Ⅰ）求证：
面
；

（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角
为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．

18．【解析】（Ⅰ）∵
平面
，

∴
，

又
，∴
面
；

又∵
，

∴
面
. …6分

（Ⅱ） 由条件可得，
即为二面角
的平面角；

若二面角
为直二面角，则
.

在直角三角形PCA中，设
，则
，

在
中，由余弦定理可得，

；

同理可得，
；

又由
，得
，解得
或
.

∴存在直二面角
，且CM的长度为1或
. …15分

19．（本题满分15分）

已知抛物线
焦点为F，抛物线上横坐标为
的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线与抛物线交于
两点，若以
为直径的圆过点，求直线的方程．

19.【解析】（Ⅰ）抛物线的方程为：
．…6分

（Ⅱ）由题意可知，直线不垂直于y轴

可设直线
，

则由
可得，
，

设
，则
，

因为以
为直径的圆过点，所以
，即

可得：

∴

，

解得:
，

∴直线
，即
． …15分

20．（本题满分15分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若
，且存在互不相同的实数
满足

，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数
在
上单调递增，求实数的取值范围．

20.【解析】（Ⅰ）若
，则

当
时，
；当
时，
.

，此时，
的图像如图所示

要使得有四个不相等的实数根满足
，

即函数
与
的图像有四个不同的交点，

因此的取值范围为
. …6分

（Ⅱ）（1）若
，则
，在
上单调递增，满足条件；

（2）若
，则
，只需考虑
的时候

此时
的对称轴为
，因此，只需
，即：

（3）若
，则

结合函数图像，有以下情况：


，即
时，此时
在
内单调递增，因此在
内也单调递增，满足条件；


，即
时，

在
和
内均单调递增，

如图所示，只需
或
，

解得：
；

由可得，的取值范围为：

由（1）、（2）、（3）得，实数的取值范围为：
…15分

命题人

沈勤龙、黄海平、吴旻玲、刘 舸

吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华

2015年3月