丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二）高三数学（文科）

第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 复数
对应的点在

(A) 第一象限

(B) 第二象限

(C) 第三象限

(D) 第四象限



2. 已知
且
，命题“x>1，
”的否定是

(A) x≤1，

(B) x>1，



(C) x≤1，

(D) x>1，



3．已知函数
，
，则方程
的所有根的和等于

(A) 0

(B) π

(C) -π

(D) - 2π



4. 如图所示，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为2的正三角形，则其左视图面积为

(A) 2

(B)

(C)

(D)





5．执行如图所示的程序框图，如果输入的
，则输出的h(x)的最小值是

(A)

(B) 3

(C) 4

(D) 7





6．设
是坐标原点，是抛物线
的焦点，是抛物线上的一点，
与轴正向的夹角为
，则

(A)

(B)

(C) 1

(D)



7．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙种产品要用A原料1吨，B原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨，且每天消耗的A原料不能超过10吨，B原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x吨，乙种产品的产量为y吨，则在坐标系xOy中，满足上述条件的x，y的可行域用阴影部分表示正确的是

(A)



(B)



(C)



(D)



8．对于集合，，定义
，下列命题：

①
；②
；③若
，则
；④若
，则
．其中正确的命题是

(A) ①

(B) ①②

(C) ②③

(D) ①④





第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是 ．

10．曲线
在点(0,1)处的切线方程是 ．

11．在锐角△ABC中，AB=
，AC=2，△ABC的面积是4，则sinA= ，BC= ．

12．如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为
，那么△ABC的面积是 ．

13．已知两点
，
（
），如果在直线
上存在点，使得
，则的取值范围是_____．

14．已知梯形
中，
，是
边上一点，且
.当是
中点时，
；当在
边上运动时，
的最大值是______．

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知函数
（其中
，
R）的最小正周期为
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如果
，且
，求
的值．

16.（本小题共13分）

已知等差数列
的前项和为
，等比数列
满足
，
，
．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）如果数列
为递增数列，求数列
的前项和
．

17.（本小题共13分）

长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．

（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；

（Ⅱ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a>b的概率．

18.（本小题共14分）

如图所示，四棱锥
的底面
是直角梯形，
，
，
，
底面
，过
的平面交
于
，交
于
（
与不重合）．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）如果
，求此时
的值．

19.（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）证明：
，
，
；

（Ⅲ）写出集合
（b为常数且
）中元素的个数（只需写出结论）．

20.（本小题共14分）

已知椭圆
：

的右焦点为
，上下两个顶点与点恰好是正三角形的三个顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过原点O的直线
与椭圆交于，两点，如果△
为直角三角形，求直线
的方程．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（二）

数 学（文科）参考答案

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

A

C

B

C

A

B





一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．
10．
11．
；4

12．
13．
14．
；

注：第11， 14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

二、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为

．

所以
，

因为
，所以
． ……………………5分

（Ⅱ）由（1）可知
，

所以
，

因为
，

所以
，

所以
．

因为

． ……………………13分

所以
．

16.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为，则由题意得

．

代入得
，解得
或
（舍）．

所以
．

所以
；
或
． ……………………7分

（Ⅱ）因为数列
为递增数列，

所以
．

所以
，

，

相减得
，

所以
． ……………………13分

17.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为
，

B班样本数据的平均值为
，

据此估计B班学生平均每周上网时间较长． ……………………5分

（Ⅱ）依题意，从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b的取法共有12种，分别为：

（9,11），（9,12），（9,21），（11,11），（11,12），（11,21），（14,11），（14,12），（14,21），（20,11），（20,12），（20,21）．

其中满足条件“a>b”的共有4种，分别为：

（14,11），（14,12），（20,11），（20,12）．

设“a>b”为事件D，

则
． ……………………13分

答：a>b的概率为
．

18.（本小题共14分）

证明：（Ⅰ）因为梯形
，且
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
．

因为平面
平面
=
，

所以
． ……………………4分

（Ⅱ）取
的中点
，连结
．

因为
，
，

所以
，且
．

因为
，且
，

所以
是正方形．

所以
.

又因为
为平行四边形，所以且

所以

．

又因为
底面
，

所以

．

因为
，

所以
平面
，

因为
平面
，

所以

． ……………………10分

（Ⅲ）过
作
交
于，连结
．

因为
底面
，

所以
底面
．

所以
．

又因为
，
，

所以
平面
，

所以
．

由（Ⅱ）知
，

所以在平面
中可得
是平行四边形．

所以
，

因为是
中点，

所以
为
中点．

所以
． ……………………14分

19.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）
．

令
，则
，
．















+



-



+





↗

极大

↘

极小

↗



所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
,
．

……………………4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，

所以当
时，

．

因为当
时，
，
，

所以当
时，

．

所以
-

．

所以对
，
，都有

-