2014-2015-1模拟考试*高三数学（理科）试题

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1．设
，
是向量，命题“若
，则
”的逆命题是

（A）若
，则
（B）若
，则

（C）若
，则
（D）若
，则

2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A．
B．
C．
D．

3. 若
是纯虚数，则
的值为

A.-7 B.
C.7 D.
或

4. 已知圆
，
过点
的直线，则

A．
与
相交 B．
与
相切

C．
与
相离 D．以上三个选项均有可能

5. 在
中角、、
所对边长分别为
，若
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

6. 已知
和点
满足

.若存在实数使得
成立，则=

A．2 B．3 C．4 D．

7. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

（A）

（B）

（C）

（D）

8. 函数
在
内

（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点

（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点9.

9. 若
，
，则sin
=

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 定义在R上的函数
满足
，当
时，
当
时，
。则
=

（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012

二． 填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.某算法的程序框图如右边所示，则输出的S的值为

12. 设a＞0.若曲线
与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。

13. 若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数
的取值范围是

14. 已知向量
，
，且
，则实数
的值为

15（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A．(极坐标与参数方程) P为曲线C1：
，（θ为参数）上一点，则它到直线C2：
（t为参数）距离的最小值为____。

B. （几何证明选讲）如图，△
是⊙
的内接三角形，
是⊙
的切线，
交
于点，交⊙
于点．若
，
，
，
，则
_____．

C.（不等式选讲）不等式|x2-3x-4|＞x+1的解集为________

三．解答题：本大题共6小题，共75分

16.（12分）函数
（
）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为
，

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，则
，求的值．

17. （12分）已知等差数列
前三项的和为
，前三项的积为.

（Ⅰ）求等差数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
，
成等比数列，求数列
的前项和.

18（12分）.甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的
道题中，甲答对其中每道题的概率都是
，乙能答对其中的
道题．规定每次考试都从备选的
道题中随机抽出
道题进行测试，答对一题加
分，答错一题（不答视为答错）减
分，至少得
分才能入选．

（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率

19. （12分） 在直角梯形PBCD中A为PD的中点，如下左图。
，将
沿AB折到
的位置，使
，点E在SD上，且
，如下右图。

（1）求证：
平面ABCD；（2）求二面角E—AC—D的正切值．

20. （13分）设
其中
,曲线
在点
处的切线垂直于轴.

(Ⅰ) 求的值;

(Ⅱ) 求函数
的极值.

（21）（14分）

如图，
分别是椭圆

的左，右焦点，过点
作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，

过点
作直线
的垂线交直线
于点
；

（I）若点
的坐标为
；求椭圆
的方程；

（II）证明：直线
与椭圆
只有一个交点。

 2014-2015-1模拟考试*理科数学答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1．设
，
是向量，命题“若
，则
”的逆命题是

（A）若
，则
（B）若
，则

（C）若
，则
（D）若
，则

2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A．
B．
C．
D．

3. 若
是纯虚数，则
的值为

A.-7 B.
C.7 D.
或

4. 已知圆
，
过点
的直线，则

A．
与
相交 B．
与
相切

C．
与
相离 D．以上三个选项均有可能

5. 在
中角、、
所对边长分别为
，若
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

6. 已知
和点
满足

.若存在实数使得
成立，则=

A．2 B．3 C．4 D．

7. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

（A）

（B）

（C）

（D）

8. ．函数
在
内

（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点

（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点9.

9. 若
，
，则sin
=

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 定义在R上的函数
满足
，当-3≤x＜-1时，
当-1≤x＜3时，
。则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012

二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.某算法的程序框图如右边所示，则输出的S的值为

12. 设a＞0.若曲线
与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。

解析：
，解得
.

13. 若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数
的取值范围是

14. 已知向量
，
，且
，则实数
的值为

15（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A．（几何证明选讲选做题）如如图，△
是⊙
的内接三角形，
是⊙
的切线，
交
于点，交⊙
于点．若
，
，
，
，则
_____．4

B.(极坐标与参数方程选讲选做题) P为曲线C1：
，（θ为参数）上一点，则它到直线C2：
（t为参数）距离的最小值为____。1

C.（不等式选讲选做题）不等式|x2-3x-4|＞x+1的解集为________｛x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3｝

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

函数
（
）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为
，

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，则
，求的值．

【解析】（Ⅰ）∵函数
的最大值是3，∴
，即
。

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为
，∴最小正周期
，∴
。

故函数
的解析式为
。

（Ⅱ）∵

，即
，

∵
，∴
，∴
，故
。

17.已知等差数列
前三项的和为
，前三项的积为.

（Ⅰ）求等差数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
，
成等比数列，求数列
的前项和.

解：

（Ⅰ）设等差数列
的公差为，则
，
，

由题意得
解得
或

所以由等差数列通项公式可得

，或
.

故
，或
.

（Ⅱ）当
时，
，
，
分别为
，
，，不成等比数列；

当
时，
，
，
分别为
，，
，成等比数列，满足条件.

故

记数列
的前项和为
.

当
时，
；当
时，
；

当
时，

. 当
时，满足此式.

综上，

18.甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的
道题中，甲答对其中每道题的概率都是
，乙能答对其中的
道题．规定每次考试都从备选的
道题中随机抽出
道题进行测试，答对一题加
分，答错一题（不答视为答错）减
分，至少得
分才能入选．

（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率

（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为
，则
的可能取值为
．

；
；

；
． ………4分

乙得分的分布列如下：
























． ………6分

（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.

则
， ……8分

． ……10分

故甲乙两人至少有一人入选的概率
． ……12分

19. 在直角梯形PBCD中A为PD的中点，如下左图。
，将
沿AB折到
的位置，使
，点E在SD上，且
，如下右图。

（1）求证：
平面ABCD；（2）求二面角E—AC—D的正切值．

解：（1）证明：在图中，由题意可知，

为正方形，所以在图中，
，

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为
，ABBC，

所以BC平面SAB，………………………3分

又
平面SAB，所以BCSA，又SAAB，

所以SA平面ABCD，………………………6分

（2）解法一： 在AD上取一点O，使
，连接EO。

因为
，所以EO//SA…………………………7分

所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，

则AC平面EOH，所以ACEH。

所以
为二面角E—AC—D的平面角，………………………9分

在
中，
…11分

，即二面角E—AC—D的正切值为
………12分

解法二：如图，以A为原点建立直角坐标系，

……………7分

易知平面ACD的法向为

设平面EAC的法向量为

……………………9分

由
，所以
，可取

所以
………………………………11分

所以

所以
,即二面角E—AC—D的正切值为
…………12分

（20）（本小题满分13分）

如图，
分别是椭圆
的左，右焦点，过点
作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点
作直线
的垂线交直线
于点
；

（I）若点
的坐标为
；求椭圆
的方程；

（II）证明：直线
与椭圆
只有一个交点。

【解析】（I）点
代入
得：

①

又
②
③

由①②③得：
既椭圆
的方程为

（II）设
；则

得：

过点与椭圆
相切的直线斜率

得：直线
与椭圆
只有一个交点。

21.设
其中
,曲线
在点
处的切线垂直于轴.

(Ⅰ) 求的值;

(Ⅱ) 求函数
的极值.

解:(1)因
,故

由于曲线
在点
处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即
,

从而
,解得

(2)由(1)知
,

令
,解得
(因
不在定义域内,舍去),

当
时,
,故
在
上为减函数;

当
时,
,故
在
上为增函数;

故
在
处取得极小值
.