2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题：每小题5分，共50分

1~5：C B D C A. 6~10：D B A D B

二、填空题：每小题5分，共25分

（11）
. （12）. （13）
. （14）3. （15）①④.

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分

（16）(本题小满分12分) 如图，平面四边形
中，
，且
.

（Ⅰ）求∠；　

（Ⅱ）求四边形
的面积
.

解：（Ⅰ）由余弦定理得：
；

，

，

，
.………………………………………………6分

（Ⅱ）由三角形面积公式，得：

，
，故，四边形
的面积
.…………………………12分

（17）（本小题满分12分）

在某校举办的体育节上，参加定点投篮比赛的甲、乙两个小组各有编号为1，2，3，4的4名学生. 在比赛中，每人投篮10次，投中的次数统计如下表：

学生

1号

2号

3号

4号



甲组

6

6

9

7



乙组

9

8

7

4





（Ⅰ）从统计数据看，甲、乙两个小组哪个小组成绩更稳定（用数据说明）？

（Ⅱ）从甲、乙两组中各任选一名同学，比较两人的投中次数，求甲组同学投中次数高于乙组同学投中次数的概率.

解：（Ⅰ）两个班数据的平均值都为7，

甲班的方差
，……………………2分

乙班的方差
. ……………………4分

因为
，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ……………………5分

（Ⅱ）将甲班1到4号记作
，乙班1到4号记作
，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为
，由16个基本事件组成，这16个是等可能的. ……………………8分

将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件，

则
，由6个基本事件组成，……………………10分

所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为
.…………12分

（18）（本小题满分12分）在三棱柱
中，
，
．
分别是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求证：
面
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，
，
，求三棱锥
的体积．

解：（Ⅰ）取
中点，连接
，∵是
的中点，∴
，且
；又∵
，是
的中点，∴
，且
，∴四边形
是平行四边形，∴
，而
平面
，
平面
，∴
平面
.……4分

（Ⅱ）∵
，
，而
，∴
平面
，∴
．又∵
，
，∴
面
．………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论得
，∵
，∴
平面
；∵
，∴
平面
. 由
可知，
平面
；∵
，
，∴
，∴三棱锥
的体积：
.………………12分

（19）（本题满分13分）设数列
的前项和为
，且

，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）在
与
之间插入个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，求数列
的前项和
.

解：（Ⅰ）∵

，∴

，两式相减，得

；……………………………………4分

又
，∴
，∴
. ……………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，所以
，
，…………8分

（解法1）则
，

，

两式相减，得
，

所以
.……………………13分

（解法2）设
，

∴
；

∴
.……………13分

（20）（本题满分13分）已知椭圆
的离心率为
，
、
分别为椭圆的左、右焦点，
是椭圆上一点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点
的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，且
，求直线的方程．

解：（Ⅰ）
在椭圆上，
；又
，
，解得
，

故所求椭圆方程为
.……………………5分

（Ⅱ）
，
.

当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，由
，
与
矛盾，故直线的斜率存在且不为零.

设直线的方程为
，
，由
，得

，
，
，

，由
，得
解得

所以所求直线的方程为
或
. ………………13分

（21）（本题满分13分）已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间和极值；

（Ⅱ）若
的图象存在公共切线，求的取值范围.

解：（Ⅰ）∵
，∴
，
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
；
. …………6分

（Ⅱ）设
的公切线
的斜率为，
与
图象的切点分别是
，
，若不存在，则
不是
图象的切线，所以存在.则

，代入①，得
，根据题意，此关于
的方程有解..………………10分

令
，则
有零点. ∵
，∴
在
上单调递减，在
上单调递增.

，∴
有零点当且仅当
，解得
，即所求的取值范围是
.………………13分