安庆九中2015届高三第五次月考（2015年5月）文科数学试题

命题人：胡明波

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题(本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)

1． 复数

A．
B．
C．
D．

2．设集合
，则满足
的集合B的个数为（ ）

A．1 B．3 C．4 D．8

3．在下列结论中，正确的结论为（ ）

（1）“
”为真是“
”为真的充分不必要条件

（2）“
”为假是“
”为真的充分不必要条件

（3）“
”为真是“
”为假的必要不充分条件

（4）“
”为真是“
”为假的必要不充分条件

A.（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（3）（4）

4．函数f(x)＝x2－x－2，－5≤x≤5，那么任取一x，使得f(x)≤0的概率是(　　)

A．0.5　　　　　　　　　 B．0.4

C．0.3 D．0.2

5．若为不等式组
表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线
扫过中的那部分区域的面积为 ( )

A．1 B．
C．
D．

6．如图，程序结束输出的值是

A．
B．

C．
D．

7一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )

A.
B.

C.
D.

8、等差数列
中，若
为方程
的两根，则
（ ）

A．10 B．15 C．20 D．40

9．如图，已知抛物线
的焦点F恰好是双曲线
的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为

A.
B.

C.
D.

10.已知函数
，若存在互不相等的实数,
, ,使
成立，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分。 请将答案写到答题纸上.）

11．如果sin α＝，且α为第二象限角，则sin＝ 。

12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，则此频率分布直方图的“中位数”的估计值为 .

13．O是平面上一点，点
是平面上不共线的三点。平面内的动点P满足
，若
，则
·
的值等于 .

14. 已知
是周期为2的奇函数，当
时，
，设
则
从小到大的顺序为 .

15．给出定义：若
（其中
为整数），则
叫做离实数最近的整数，记作
. 在此基础上给出下列关于函数
的四个命题： ①函数
的定义域为R，值域为
；②函数
的图像关于直线
对称；③函数
是偶函数；④函数
在
上是增函数.其中正确的命题的序号是 ．

三、解答题（共6小题，满分75分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16．（本小题满分12分）

如图，某观测站C在城A的南偏西
的方向，从城A出发有一条走向为南偏东
的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离A城多少千米？

17、（本小题满分12分）如图，矩形
中，
平面
，
为
上的点，且
平面
.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
∥平面
.

18. (本小题满分12分)

某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日



温差

10

11

13

12

8



发芽数
颗

23

25

30

26

16



（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为
，求事件“
均不小于25的概率。

（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出关于的线性回归方程
；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

（参考公式：
，
）

19．（本小题满分12分）已知数列
满足
，且
。（1）求证：数列
是等差数列，并求通项
；（2）
，且
，求和
.

20．（本小题满分13分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
， 点
是椭圆的一个顶点，△
是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点
分别作直线
，
交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为
，
，且
，证明：直线
过定点．

21．（本小题满分14分）

设函数

（1）当
时，求
的极值；

（2）设
，在
上单调递增，求的取值范围；

（3）当
时，求
的单调区间.

安庆九中2015届高三第五次月考文科数学答案

一、选择题：CCBCD BCBCD

二、填空题：11.  12.2400 13、0 14、
15. ①②③

三、解答题：

16．解：在
中，
，由余弦定理

，…………………3分

所以
，………………………………………… 5分

在
中，由条件知
，

所以
………………8分

由正弦定理

所以
………………………………………………………11分

故这时此车距离A城15千米……………………………………………………12分

17、 解：（1）证明：
平面
，
∥

平面
，则

又
平面
，则

平面

（2）证明：依题意可知：是
中点

平面
，则
， 而
是
中点

在△
中，
∥
又
∥

19．解：由
，
，得
，从而数列
是一个首项是
，公差为
的等差数列，故

数列
的通项公式为
=
。…………………………………………6分

（Ⅱ）将
代入
可求得
；……………………7分

所以
；…………………………………………8分

①

②……………………10分

①-②得

所以
………………………………………………………………12分

20．解：（Ⅰ）由已知可得
，所求椭圆方程为
． ……4分

（Ⅱ）若直线
的斜率存在，设
方程为
，依题意
．设
，
，由
得
则
．………6分由已知
，所以
，即
．所以
，整理得
．故直线
的方程为
，即
（
）
．…………10分

所以直线
过定点（
）．若直线
的斜率不存在，设
方程为
，设
，
，由已知
，得
．此时
方程为
，显然过点（
）．………………11分 综上，直线
过定点（
）．………………13分

21．解：（1）函数
的定义域为
……………………………………1分

当
时，
，∴
………………2分

由
得

随变化如下表：











—

0

+





减函数

极小值

增函数



故，
，没有极大值. …………………………4分

（2）由题意，
，在
上单调递增，

在
上恒成立

设
在
上恒成立， ………………………………5分

当
时，
恒成立，符合题意. ………………………………………6分

当
时，
在
上单调递增，
的最小值为
，得
，所以
……………………………………………………………………7分

当
时，
在
上单调递减，不合题意

所以
…………………………………………………………………………9分

（3）由题意，

令
得
，
………………………………………………10分

若
，由
得
；由
得
…………11分

若
，①当
时，
，
或
，
；
，

②当
时，

③当
时，
或
,
;
,

综上，当
时，函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
；

当
时，函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
；

当
时，函数的单调递减区间为
单调递增区间为

……………………………………………………………………14分