2015安徽省高三第二次高考模拟考试

数学（理科）参考答案

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）



答案

C

B

B

B

C

A

C

A

D

D



（1）C 解析：z3＝(－i)3＝(－i)2(－i)＝(－－i)(－i)＝－1.

（2）B 解析：x2＞|x|＋2?(|x|－2)(|x|＋1)＞0?|x|＞2?|x|＞1，故选B．

（3）B 解析：由已知得双曲线的顶点为
，渐近线方程为
距离

（4）B 解析：A＝，n＝2；A＝－2，n＝3；A＝，n＝4；A＝，输出结果为4．

（5）C 解析：直线l的直角坐标方程为x－2y＋a＝0，d＝＝，当a＞0时，最大值为＝2，a＝6，当a＜0时，最大值为＝2，a＝－6，故选C．

（6）A 解析：a＝log510＝1＋log52＜2，b＝log36＝1＋log32＜2，c＝2＞2，∴a＜b＜c．

（7）C 解析：|x－1|＋|x－2|＜3的解集为x∈(0，3)，使y＝log2(x－x2)有意义的x∈(0，1)，其概率为.

（8）A 解析：如图，直线y＝x＋1与圆(x－4) 2＋y2＝13交于点(1，2)，(2，3)，而y＝ax＋2过点(0，2)，与点(2，3)连线的斜率为，故a∈(0，).

（9）D 解析：其中可能共色的区域有AC、AD、AE、AF、BE、BF、CD、CF、DF共9种，故共有涂色方法9A＝1080种.

（10）D 解析：由已知得＝
＋
，显然m＞0，n＞0，
＋
＝1，∴n＋2m＝(n＋2m)(
＋
)＝2＋2＋
＋
≥4＋2
＝8，当且仅当n＝2m时取等号．又4m2＋n2≥(2m＋n)2＝32，当且仅当n＝2m取等号，故选D．

（11）
解析：由已知得球的半径
球的体积

（12） 解析：b5＋b8＝C(－b)3＋1＝－6，整理得b3＝，b＝．

（13）
解析：f ′(x)＝ωAcos(ωx＋φ)，由图知2(－)＝，ω＝2，ωA＝1，A＝，f ′(x)＝cos(2x＋φ)，2×＋φ＝0，φ＝－，f (x)＝sin(2x－)，f ()＝sin(2－)

（14）
解析：由三视图知几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱，如图所示，所以表面积为

（15）①②⑤ 解析：对于①，∵a1＝1，3、27、9是其中的三项，∴d＞0且为整数，∴d＝1或d＝2，故①正确；对于②，当a1＝27，d＝－1时，可满足条件，故②正确；对于③，∵9－3＝(t1－t2)d，t1－t2＝，∴d是6的因子，同理可知d是18与24的因子，∴d是6的因子，而6的因子有±1、±2、±3、±6共8个，故③不正确；对于④，由③知对于d＝±2、±6，27与36相差不是2、6的倍数，故④不正确；对于⑤，当a1＝1，d＝2时，an＝2n－1，Sn＝n2，S2n＝4n2＝4Sn，故⑤正确．

（16）解析：（Ⅰ）由已知得4sin2Ccos2C－10sin2CcosC－6sin2C＝0，

∴2cos2C－5cosC－3＝0，cosC＝－或cosC＝3(舍)，∴C＝
．（6分）

（Ⅱ）由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－ab，49＝64－ab，ab＝15，

∴△ABC的面积S△ABC＝absinC＝．（12分）

（17）解析：（Ⅰ）连接AC交DF于H，连接EH．

由△AFH ∽△CDH得＝＝，

由已知PE＝PC得＝，∴EH∥PA，

∵PA⊥底面ABCD，∴EH⊥底面ABCD．

∵EH?平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD．（6分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系，设AB＝2，＝λ(0＜λ＜1)，E(x，y，z)，

则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，4)，

由＝λ得(x，y，z－4)＝λ(2，2，－4)，E(2λ，2λ，4－4λ)．

设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，则，令c＝－λ，则m＝(2－2λ，0，－λ)．

设平面ABE的法向量为n＝(a1，b1，c1)，则
，令c1＝－λ，∴n＝(0，2－2λ，－λ)，

∴|cos|＝＝＝，解得λ＝．

∴当PE＝PC时，二面角B－AE－D为120°．（12分）

（18）解析：（Ⅰ）入口1、2、3堵车的概率分别是P1＝、P2＝、P3＝．

∴恰有两个路口发生堵车的概率P＝××(1－)＋×(1－)×＋(1－)××＝．（5分）

（Ⅱ）X＝1，2，3．P(X＝1)＝＋×＝，P(X＝2)＝×(＋×)＝，P(X＝3)＝×××＝．

其分布列为

X

1

2

3



P









EX＝1×＋2×＋3×＝．（12分）

（19）解析：（Ⅰ）将A点代入圆C中得1＋(3－m)2＝5，解得m＝1或m＝5(舍)．（2分）

F1(0，－c)(c＞0)，设PF1： y－4＝k(x－4)，＝，解得k＝2或k＝，

所以＝2或＝，解得c＝4或c＝－(舍)．

F1(0，－4)，F2(0，4)，则2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，a＝3，b＝，

∴椭圆E的方程为：＋＝1.（6分）

（Ⅱ）设Q(x，y)，＝(3，1)，＝(x－1，y－3)，

·＝3(x－1)＋y－3＝3x＋y－6，

令t＝3x＋y，代入椭圆y2＋9x2＝18中得18x2－6tx＋t2－18＝0，

△＝36t2－72(t2－18)＝－36t2＋72×18≥0，－6≤t≤6，

－12≤t－6≤0，则·∈[－12，0]．（13分）

（20）解析：（Ⅰ）a＝2，f ′(x)＝，

当x＞－1时，f ′(x)＞0；当－2＜x＜－1时，f ′(x)＜0，

故f (x)的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－2，－1)，在x＝－1处取得极小值f (－1)＝1．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a＝2时，f (x)≥f (－1)＝1，∴＋3ln(x＋2)≥1．

∵a≤2，∴0＜x＋a≤x＋2，≥．∴f (x)＝＋3ln(x＋2)≥＋3ln(x＋2)≥1，

令g(x)＝2－x－e－x，g′(x)＝－1＋e－x＝，

显然当x＞0时，g′(x)＜0；当x＜0时，g′(x)＞0．

故g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝1，g(x)≤1，

∴f (x)≥2－x－e－x.（13分）

（21）解析：（Ⅰ）a1＝1，a2＝4，a3＝9，猜想an＝n2．

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，显然成立．

②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝k2，则当n＝k＋1时，6Sk＋1＝(ak＋1＋k＋1)(2k＋3)，6Sk＋6ak＋1＝(2k＋3)ak＋1＋(k＋1)(2k＋3)，(k2＋k)(2k＋1)＋6ak＋1＝(2k＋3)ak＋1＋(k＋1)(2k＋3)，解得ak＋1＝(k＋1)2，

故当n＝k＋1时，猜想成立．由①②知猜想正确，an＝n2．（7分）

（Ⅱ）bn＝n2·2n，Tn＝12·21＋22·22＋32·23＋…＋n2·2n，

2Tn＝12·22＋22·23＋32·24＋…＋n2·2n＋1，

两式相减得－Tn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n－n2·2n＋1．

设M＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，

2M＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－1)·2n＋1，

－M＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1，M＝(2n－3)·2n＋1＋6，

－Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6－n2·2n＋1，Tn＝(n2－2n＋3)·2n＋1－6．（13分）