丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知
，
，则

(A)
或

(B)

(C)
或

(D)



2．“a=0”是“复数
(a，b∈R)为纯虚数”的

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件



(C) 充分必要条件

(D) 既不充分也不必要条件



3．直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为

(A)

(B)

(C)

(D)



4．函数
的所有零点的和等于

(A)

(B)



(C)

(D)



5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为

(A) 6

(B)



(C) 3

(D)



6．平面向量
与
的夹角是
，且
，
，如果
，
，D 是BC的中点，那么

(A)

(B)

(C) 3

(D) 6



7．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：

产品名称

A

B

C



天









产值（单位：万元）

4



2



则每周最高产值是

(A) 30

(B) 40

(C) 47.5

(D) 52.5



8．抛物线
的焦点为，经过的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，与准线
交于点，且
于，如果
，那么
的面积是

(A) 4

(B)

(C)

(D) 8





第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知正实数，满足
，则
的最小值是 ．

10．直线
的斜率是
，且过曲线
（
为参数）的对称中心，则直线
的方程是 ．

11．已知函数
，则
的最小正周期是 ；如果
的导函数是
，则
．

12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．

13．如图所示，△
内接于⊙
，
是⊙
的切线，
，
，则
_____，
．

14. 已知非空集合，满足以下四个条件：

①
；②
；③中的元素个数不是中的元素；④中的元素个数不是中的元素．

（ⅰ）如果集合中只有1个元素，那么
______；

（ⅱ）有序集合对（，）的个数是______．

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

在△
中，
，
，点在
边上，且
为锐角，
，△
的面积为4．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求边AC的长．

16.（本小题共13分）

长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．

（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；

（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；

（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为
，写出
的分布列和数学期望
．

17.（本小题共14分）

如图所示，在四棱柱
中，
底面
，
于
,且
，点
是棱
上一点．

（Ⅰ）如果过
，
，
的平面与底面
交于直线
，求证：
；

（Ⅱ）当
是棱
中点时，求证：
；

（Ⅲ）设二面角
的平面角为
，当
时，求
的长．

18.（本小题共13分）

已知数列
满足
，

，其前项和为
．

（Ⅰ）写出
，
；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）求
的最大值．

19.（本小题共14分）

已知椭圆
：
的焦距为，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）动点P在椭圆
上，直线
：
与x轴交于点N，
于点
（
，
不重合），试问在x轴上是否存在定点，使得
的平分线过
中点，如果存在，求定点的坐标；如果不存在，说明理由．

20.（本小题共13分）

已知函数
(
).

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）如果关于的方程
有两解，写出
的取值范围（只需写出结论）；

（Ⅲ）证明：当
且
时，
．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（二）

数 学（理科）参考答案

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

C

A

C

A

D

C





一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．
10．
11．；

12．
13．4；
14．
；32

注：第11，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

二、解答题：

15.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为
，

所以
．

因为
为锐角，

所以
． ……………………6分

（Ⅱ）在
中，因为
，

所以
．

因为
，

所以
．

所以
为直角三角形．

因为
，所以
，即
． ……………………13分

16.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为
，

由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；

B班样本数据的平均值为
，

由此估计B班学生每周平均上网时间22小时． ……………………2分

（Ⅱ）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是
，

所以从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为
． ……………………5分

（Ⅲ）
的可能取值为0，1，2，3，4．

，
，

，

，
．

的分布列是：

0

1

2

3

4



P















． ……………………13分

17.（本小题共14分）

证明：（Ⅰ）因为
是棱柱，所以
是平行四边形．

所以
．

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
．

因为平面
平面
，

所以
． 所以
．………………4分

（Ⅱ）因为
于
，如图建立空间直角坐标系．

因为
，且
，

所以
，
，
，

．

因为
是棱
中点，所以
．

设
，所以
，
．

所以
．

所以
． ……………………8分

（Ⅲ）设
，
，平面
的法向量为
，

又因为
，
，

所以
．

因为
，所以
，令
，则
，所以
．

设
，所以
，
．

设平面
的法向量为
，

所以
．

因为
，所以
，令
，则
，所以
．

又因为
，

所以
，即
．

解得
或
．

所以点
或
．

所以
或
． ……………………14分

18.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为
，

所以
，

，

． ……………………3分

（Ⅱ）当为奇数时，
，

即
．

所以
的奇数项成首项为
，公差为
的等差数列．

所以当为奇数时，
．

当为偶数时，
，

所以
……………………10分

（Ⅲ）因为偶数项
，奇数项
为递减数列，

所以
取最大值时为偶数．

令
(
)， 即
．

所以
．

得
．

所以