2014-201学年度高三潮南区模拟考试数学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 (选择题，共50分)

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、座号、序号写在答题纸上

2．考生必须在答题纸的指定位置作答，不能答在试题卷上．

3．考试结束后，只交答题纸。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）

1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =（ ）

A.[1,2) B.[1,2] C.( 2,3] D.[2,3]

2. 在复平面内，复数
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 设
的大小关系是( )

A．
B．
C．
D．

4. 已知函数
则
= （ ）

A．0 B．—2 C．—1 D．1

5. 圆
上的点到直线
的距离的最小值是（ ）

A 6 B 4 C 5 D 1

6. 在等差数列
中，
，
＝( )

A．12 B．14 C．16 D．18

7. 一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是

A．
B．12 C．
D．8

8.若
，且函数
在
处有极值，则
的最大值等于（ ）

A.3 B.6 C.9 D.2

9. 已知平面直角坐标系
上的区域由不等式组
给定．若

为上的动点，点的坐标为
，则
的最大值为( )

A．3 B．4 C．
D．

10.已知
分别是定义在R上奇函数与偶函数，若
则
等于 （ ）

A．—
B．
C．1 D．2

第Ⅱ卷 (填空解答题，共100分)

二、填空题:(本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。)

11.过抛物线
上的点
的切线的倾斜角等于__________.

12. 若向量
则

13.某企业三月中旬生产，A．B．C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计

员制作了如下的统计表格：

产品类别

A

B

C



产品数量（件）



1300





样本容量（件）



130





由于不小心，表格中A．C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样

本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是 件。

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点
到直线
的距离为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图所示，
与
是
的直径，

，是
延长线上一点，连
交
于点，连
交
于点，若
，则
．

三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)

16.（12分）已知：函数
．

（1）求函数
的最小正周期和值域；

（2）若函数
的图象过点
，
.求
的值．

17.(12分）某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）分别求第3，4，5组的频率.

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，

求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

18.（14分）正方形
所在平面与三角形
所在平面相交于
，
平面
，且
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）求凸多面体
的体积．

19.（14分）已知函数
的图象经过坐标原点，且
，

数列
的前n项和

(1)求数列
的通项公式；

(2)若数列
满足
求数列
的前项和．

20.（14分）已知函数

（I）求
的单调区间；

（II）若
在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。

21.（14分）已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为
和
，

且满足
·
=t (t≠0且t≠－1).

（１）求动点P的轨迹C的方程；

（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，

求t的取值范围．

2014-201学年度高三潮南区模拟考试

数学（文科）试题答案

一、选择题：

ABBCB DBCBB

填空题

11题：
；12题：
； 13题：800；14题：
；15题：3

三、解答题

16、解：（1）


---3分

∴函数的最小正周期为
，值域为
。--------------------------------------5分

（2）解：依题意得：

---------------------------6分

∵
∴

∴
＝
-----------------------------------------8分

＝

∵
＝

∴
＝
------------------------------------------------------------------------------12分

17. 解:(Ⅰ) 由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,

第4组的频率为0.04×5=0.2,

第5组的频率为0. 02×5=0.1. …………2分

(Ⅱ) 第3组的人数为0.3×100=30,

第4组的人数为0.2×100=20,

第5组的人数为0.1×100=10.

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
×6=3; 第4组:
×6=2; 第5组:
×6=1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分

(Ⅲ)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种.

其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
…………12分

18. （1）证明：∵
平面
，
平面
，

∴

．

在正方形
中，
，

∵
，∴
平面
．

∵
，

∴
平面
．

（2）解法1：在
△
中，
，
，

∴
．

过点作
于点，

∵
平面
，
平面
，

∴
．

∵
，

∴
平面
．

∵
，

∴
．

又正方形
的面积
，

∴

．

故所求凸多面体
的体积为
．

解法2：在
△
中，
，
，

∴
．

连接
，则凸多面体
分割为三棱锥

和三棱锥
．

由（1）知，

．

∴
．

又
，
平面
，
平面
，

∴
平面
．

∴点到平面
的距离为
的长度．

∴
．

∵
平面
，

∴
．

∴

．

故所求凸多面体
的体积为
．

19. 解：(1)∵函数f(x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)的图象经过坐标原点，

∴f(0)＝b＝0，∴f(x)＝x2－ax，

由f′(x)＝2x－a，得f′(1)＝2－a＝1，∴a＝1，

∴f(x)＝x2－x，∴Sn＝n2－n，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝n2－n－[(n－1)2－(n－1)]＝2n－2，

a1＝S1＝0，∴an＝2n－2(n∈N*)．

(2)由an＋log3n＝log3bn得：bn＝n·32n－2(n∈N*)，

设{bn}的前n项和为Tn，

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝30＋2·32＋3·34＋…＋n·32n－2， ①

∴9Tn＝32＋2·34＋3·36＋…＋n·32n， ②

由②－①得：8Tn＝n·32n－(1＋32＋34＋36＋…＋32n－2)

＝n·32n －，

∴Tn＝－＝.

20.解：（I）

当且仅当
时取“=”号，
单调递增。

当变化时，
、
的变化如下表：



—1











+

0

—

0

+







极大值



极小值







（II）当
恒成立。

由（I）可知

若
上单调递减，

上不单增

综上，a的取值范围是[0，1]。

21. (１) 设点P坐标为(x,y),依题意得
=t
y2=t(x2－4)

+
=1

轨迹C的方程为
+
=1（x≠2）.

(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，

设
=r1，
= r2, 则r1+ r2=2a=4.

在△F1PF2中，
=2c=4
,

∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，

得4c2=r
+r
－2r1r2
= r
+r
+ r1r2

= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(
)2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－
.

所以当－
≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O

当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，

设
=r1，
= r2，则r1+r2=2a=－4 t,

在△F1PF2中，
=2c=4
.

∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得

4c2=r
+r
－2r1r2
= r
+r
+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(
)2=3a2,

∴16（－1－t）≥－12t
t≤－4.

所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O　

综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是
.