福州八中2014—2015学年高三毕业班第九次质量检查数学(文)试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.5.4

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，则

A.
B.
C.
D.

2.已知i是虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数等于

A.2 B.
C.
D.

3．已知直线、、
不重合，平面、
不重合，下列命题正确的是

A．若
，
，
，则

B．若
，
，则

C．若
，则
；

D．若
，则

4．函数
的一个单调递减区间为

A．
B．
C．
D．

5．若右边的程序框图输出的
是126，则条件①可为

A．
B．

C．
D．

6．设变量
满足
则目标函数
的最小值为

A．1 B．2 C．3 D．4

7. 已知数列
的前项和为
，且
，则
取最小值时，的值是

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8.抛物线y2=2px与直线ax+y－4=0交于两点A、B，其中点A的坐标是（1，2）.设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于

A．7 B．
C．6 D．5

9.已知向量
（
，
），
（
，
），与
的夹角为
，则直线
与圆
的位置关系是

A.相切 B.相交

C.相离 D.随
的值而定

10.若函数
在
上单调递增，则实数的取值范围

A. (0, 1] B. (0, 1) C. [1,
D. (0,

11.已知定义在R上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
，则不等式
的解集为

A.
B.
C.
D.

12.为椭圆
上任意一点，
为圆
的任意一条直径，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸上。

13. 由正整数组成的一组数据
，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为 .（从小到大排列）

14. 棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是

15.设正项等比数列
已前n项积为

,若
，则
的值为______

16.对于二次函数
，有下列命题：

①若
，则
；

②若
，则
；

③若
，则
.

其中一定正确的命题是______________.（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

如图
是单位圆上的动点，且
分别在第一,二象限.是圆与轴正半轴的交点，
为正三角形. 若点的坐标为
. 记
．

（1）若点的坐标为
,求
的值；

（2）求
的取值范围.

18． （本小题满分12分）

如图，在以AE=2为直径的半圆周上，B、C，D分别为弧AE的四等分点。

（Ⅰ）在弧AE上随机取一点P，求满足
在
上的投影大于
的概率；

（Ⅱ）在以O为起点，再从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两向量数量积为x，则
的概率。

19.（本题满分12分）

在四棱柱
中，
底面
，底面
为菱形，
为
与
交点，已知
,
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
；

（Ⅲ）设点
在
内（含边界）,且

，说明满足条件的点
的轨迹，并求
的最小值.

20.（本小题满分12分）

数列
中，
当
时，其前项和为
，满足

（Ⅰ）求
的表达式；

（Ⅱ）设
数列
的前项和为
，不等式
对所有的
恒成立,求正整数的最大值．

21. （本小题满分12分）

已知椭圆C:
(
)的离心率为
,点(1,
)在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 若椭圆C的两条切线交于点M(4,),其中
,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆
上的点(
)处的椭圆切线方程是
,证明直线AB恒过椭圆的右焦点
；

(Ⅲ)试探究
的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由.

22. （本小题共14分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）求函数
在
（为自然对数的底数）上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点
，使得△
是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上?

福州八中2014—2015学年高三毕业班第九次质量检查

数学(文)试卷参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，满分60分）

1. A 2. A 3． D 4． B 5． B 6．A 7. B 8.A 9.C 10. A 11. D 12.C

二、填空题（每小题4分，满分16分）

13．
14. 32 15．3 16.②③

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.解：（Ⅰ）因为A点的坐标为
，根据三角函数定义可知，

，得
，.......2分

所以
＝
........6分

（Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以
， 所以

=
=
........8分

所以
=
......9分

,
,

即
,.........10分

......12分

18．

则
……………… 3分

所以使得
在
上的射影大于
的概率
……………… 5分

(2)以O为起点，从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向

量所有的基本事件有：

………………8分

其中数量积x=
的有：

19.解：（Ⅰ）依题意, 因为四棱柱
中，
底面
，

所以
底面
.

又
底面
,

所以

.……2分

因为
为菱形，

所以
.而
，

所以
平面
. ………………4分

（Ⅱ）连接
,交
于点，连接
.

依题意，
∥
,

且
，
,

所以
为矩形. ……6分

所以
∥
.

又
,
,
,

所以
=
，所以
为平行四边形，

则
∥
.

又
平面
，
平面
,

所以
∥平面
. ……8分

（Ⅲ）在
内，满足

的点
的轨迹是线段
，包括端点.

分析如下：连接
，则
.

由于
∥
,故欲使

，只需
,从而需
.

又在
中，
,又为
中点，所以

.

故
点一定在线段
上.

当
时，
取最小值. ……10分

在直角三角形
中，
,
,
,

所以
.……12分

20. 解：（1）因为
，……1分

所以
……2分

即
①

由题意
故①式两边同除以
得
，……4分

所以数列
是首项为
公差为2的等差数列．

故
所以
……6分

（2）
……8分

≥
……10分

又∵ 不等式

对所有的
恒成立∴
≥
，

化简得：
，解得：
．∴正整数的最大值为6．……12分

21. 解： (Ⅰ)设椭圆C的方程为
(
)，
①……2分

点(1,
)在椭圆C上,
②, ……3分

由①②得:

椭圆C的方程为
， ……………… 4分

(Ⅱ)设切点坐标
,
,则切线方程分别为
,
.

又两条切线交于点M(4,),即
,

即点A、B的坐标都适合方程
,显然对任意实数,点(1,0)都适合这个方程，

故直线AB恒过椭圆的右焦点
. ……………… 8分

(Ⅲ)将直线
的方程
，代入椭圆方程,得

,即

所以
,
……………… 10分

不妨设
,
,

同理

所以
=
=

所以
的值恒为常数
.---12分

22.解:（Ⅰ）

（Ⅱ）①由（1）知当
时