莆田一中2014-2015学年度高三第三次月考试卷科目 数学（文）

命题人：张丽群 审核人：苏玉蓉

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合
，若
，则
等于( )

A.9 B.8 C.7 D.6

2．复数
的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．以下结论：①若
，则
；

②若
，则存在实数
，使
；

③若
是非零向量，
，那么
；

④平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底。其中正确结论个数是( )

A、
B、C、 D、

4．在一次实验中，采集到如下一组数据：

-2.0

-1.0

0

1.00

2.00

3.00





0.24

0.51

1

2.02

3.98

8.02



则
的函数关系与下列（）类函数最接近（其中
为待定系数）

A．
B .
C.
D.

5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( )

A.2 B.
C.
D.3

6．将函数
的图象向左平移
个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．若下框图所给的程序运行结果为
，那判断框中应填入的关于
的条件是( )

(A)
(B)
(C)
(D)

8．设
，则“
”是“
”的 （ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

9．函数
的图像大致为（ ）

(A) (B) (C) (D)

10．已知
，椭圆
的方程为
，双曲线
的方程为
，
与
的离心率之积为
，则
的渐近线方程为( )

11．已知函数
且
有两个零点
、
，则有（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）
的范围不确定

12．定义在R上的函数
且当
时，
.则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案卷的相应位置.

13．曲线
在点
处的切线方程为________.

14．设函数
，则不等式
的解集是_______________.

15．在
中，内角
的对边分别为
，
已知，且
，则
的面积是________．

16．集合
中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为
，如：
；

；

则
________．（写出计算结果）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．
的前n项和为
，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，求数列
的通项公式；

18．已知函数
，且当
时，
的最小值为2.

（1）求的值，并求
的单调增区间；

（2）将函数
的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
倍，再把所得图象向右平移
个单位，得到函数
，求方程
在区间
上的所有根之和.

19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖。

常喝

不常喝

合计



肥胖



2





不肥胖



18





合计





30



已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为
。

（1）请将上面的列联表补充完整

（2）是否有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由

（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？

参考数据：

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001





2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828



（参考公式：
，其中
）

20．如图，四边形
为矩形，
平面
,
，
平面
于点，且点在
上.

（1）求证：
；（2）求四棱锥
的体积；

（3）设点
在线段
上，且
，试在线段
上确定一点
，使得
平面
.

21.如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点为圆心作圆：
，设圆与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的方程；（2）求
的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆
上异于
,
的任意一点，且直线
分别与轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值．

22．已知函数
在
处的切线
与直线
平行．

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程
在
上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）记函数
，设
是函数
的两个极值点，若
，且
恒成立，求实数
的最大值．

莆田一中2014-2015学年度高三第三次月考试卷

科目 数学（文）参考答案

1．C2．B3．B4．B5．D6．A7．D8．B9．A10．B11．A12．C

13．
或(
).14．
15．

16．试题分析：由
归纳得出
，

则
，

又
，
。

（1）
；（2）
；

解析：（1）当
时，
当
时

满足该式∴数列
的通项公式为
；

(2)
（
） ①
②②-①得
，
故
（n∈N*）；18.（1）0，
；（2）
.

19． 解析：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，，x＝6

常喝

不常喝

合计



肥胖

6

2

8



不胖

4

18

22



合计

10

20

30



-------------（3分）（2）由已知数据可求得：K2＝...≈8.522＞7.879因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．-------------（7分）（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．故抽出一男一女的概率是8/15

20.解（1）证明：则AD⊥平面ABE成AD//BC得BC⊥平面ABE，则AE⊥BC而BF⊥平面ACE，则BF⊥AE，又BC∩⊥BF=B，则AE⊥平面BCE，又BE平面BCE，故AE⊥BE。…1分（2）在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，则EH⊥平面ACD。由已知及（1）得
，
……………………2分故
……………………1分（3）当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，MN//平面ADE。…………1分取线段BE上靠近点B的一个三等分点G，连接MN，MG，NG则由
得
，则MG//AE GN//BC由MG平面ADE，AE平面ADE,则MG//面ADEMG∩NG=G，同理,得GN//面ADE,MG NG=G平面ADE//面MNG又MN平面MGN，则MN//平面ADE。故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，MN//平面ADE。



21.试题解析：（1）依题意，得
，
，
；

故椭圆
的方程为
． 3分

（2）点
与点
关于轴对称，设
，
， 不妨设
．

由于点
在椭圆
上，所以
． （*） 4分

由已知
，则
，
，

． 6分

由于
，故当
时，
取得最小值为
．

由（*）式，
，故
，又点
在圆上，代入圆的方程得到
．

故圆的方程为：
． 8分

（3） 设
，则直线
的方程为：
，

令
，得
， 同理：
， 10分

故
（**） 11分

又点
与点在椭圆上，故
，
， 12分

代入（**）式，得：
．

所以
为定值．

22.解：（1）
…（2分）

∵函数在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行，∴
，解a=1

（2）由（1）得f（x）=lnx﹣x，

∴f（x）+m=2x﹣x2，即x2﹣3x+lnx+m=0，

设h（x）=x2﹣3x+lnx+m，（x＞0）

则h′（x）=2x﹣3+
=
，

令h′（x）=0，得x1=
，x2=1，列表得：

x

（
，1）

1

（1，2）

2



h′（x）

﹣

0

+





h（x）



极小值



m﹣2+ln2



∴当x=1时，h（x）的极小值为h（1）=m﹣2，

又h（
）=m﹣
，h（2）=m﹣2+ln2，…（7分）

∵方程f（x）+m=2x﹣x2在
上恰有两个不相等的实数根，

∴
，即
，

解得
≤m＜2；（也可分离变量解） …（10分）

（3）∵g（x）=lnx+
，

∴g′（x）=
，

由g′（x）=0得x2﹣（b+1）x+1=0

∴x1+x2=b+1，x1x2=1，

∴
，

∵
，∴

解得：
…（12分）

∴g（x1）﹣g（x2）=
=
，

则

∴F（x）在
上单调递减；

∴当
时，
，

∴k≤
，

∴k的最大值为
．