深圳二外2016届高三第二次教学质量测试

理科数学

单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．设集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|2＜2x＜8}，则A∩B=（　　）

A．{x|1＜x＜4} B.{x|1＜x＜3} C.{x|2＜x＜3} D.{x|3＜x＜4}

2. cos17°sin43°+sin163°sin47°=( )

A．
B．一
C．
D．一

3.下列说法正确的是（ ）

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件

C．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是：“对任意x∈R, 均有x2＋x＋1＜0”

D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题

4. 已知
，
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

5. 若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 在
中，
，
．若点
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 方程
的根
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 函数
的图象大致为（ ）

9. 曲线
在
处的切线方程是( )

A．
B．
C．
D．

10.把函数
图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向右平移
个单位，得到图象的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 钝角三角形ABC的面积是
，AB=1，BC=
，则AC=（　　）

A．

5

B．



C．

2

D．

1



12. 已知定义在
上的偶函数
满足
，且对于任意的
，
恒成立，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 曲线
与直线
所围成的区域的面积为 ．

14.已知
，则
的值为

15. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当
时,
,则
的值为

16. 设函数

在区间
上是单调递减函数，则实数
的取值范围是

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）已知函数
（
）．

（1）求
的最小正周期；

（2）求函数
在区间
上的值域．

18. （本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列
中，
，且
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
（
），求数列
的前
项和
．

19. 本小题满分12分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：

(1)a和c的值；

(2)cos(B－C)的值．

20．（本小题满分12分）已知函数

（1）求函数
单调区间；

（2）若
，求证：当
时，
．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，
。

（1）求函数
的最小值；

（2）若存在
（
是自然对数的底数）使不等式
成立，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．

（1）求证：FB=FC；

（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是
．

（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；

（2）若点 P是曲线C上的动点，求 P到直线l的距离的最小值，并求出 P点的坐标．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．

（1）解不等式f（x）≤5；

（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

深圳二外2016届高三理科数学第二次月考参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

D

B

A

A

B

D

C

C

B

D





二、填空题

13.
14.
15.
16.

17. 解析：（1）

………………………………4分

所以
的最小正周期为
…………5分

（2）解：

因为
， 所以
， ………………7分

所以
所以
……………………11分

即
在区间
上的值域为
. ……………………12分

18.（Ⅰ）设数列
的公差为
．

解得：
或
（舍），

……………………6分

（Ⅱ）

……………12分

19．解：(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，

又cos B＝，所以ac＝6.

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.

解得或

因为a＞c，所以a＝3，c＝2. ……………………6分

(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.

由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.

因为a＝b＞c，所以C为锐角，

因此cos C＝＝＝.

所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝. ……………………12分

20.解：（1）
的定义域为

…

若
时，
恒成立，即
的单调区间为

若
时，令
，得

即
的单调区间为
，减区间为
……………………6分

（2）证明： 设
则

∴
在
上为增函数，且

即
在
上恒成立

∴当
，
……………………12分

21.解：（1）易知，
定义域为
，且
，

当
时，
，此时
单调递减，

当
时，
，此时
单调递增。所以
；………………5分

（2）由题意知
，即
，

设
，则

当
时，
，此时
单调递减；当
时，
，此时
单调递增。

所以
，因为存在
使不等式
成立，

所以
，又
，故

所以
。……………………..12分

22.解：（1）证明：∵A、C、B、F四点共圆

∴∠FBC=∠DAC

又∵AD平分∠EAC

∴∠EAD=∠DAC

又∵∠FCB=∠FAB（同弧所对的圆周角相等），∠FAB=∠EAD

∴∠FBC=∠FCB

∴FB=FC；

（2）解：∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC

∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC

∵∠AFC=∠CFD，

∴△FAC∽△FCD

∴FA：FC=FC：FD

∴FB2=FC2=FA?FD=16，

∴FB=4．

23.解：（1）∵
，

∴x﹣y=1．

∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．

即
，

即
．

∵
，

∴
，

∴ρcos2θ=sinθ，

∴（ρcosθ）2=ρsinθ

即曲线C的普通方程为y=x2．

（2）设P（x0，y0），

，

∴P到直线的距离：

．

∴当
时，
，

∴此时
，

∴当P点为
时，P到直线的距离最小，最小值为
．

24.解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，

而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，

故不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，3]．

（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立．

而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，

∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．

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