肇庆市2016届高中毕业班第一次统一检测

数学理试题

一、选择题

（1）已知集合M＝
，N＝
，则
＝

（A）（－4,1］　　（B）［1,4］　　（C）［－6,－4）　　（D）［－6,4）

（2）已知复数
，则复数z的模｜z｜＝

（A）
　　（B）
　　（C）
　　（D）

（3）“
”是“
－4＞0”的

（A）必要而不充分条件　（B）充分而不必要条件

（C）充要条件　　　　　（D）既不充分也不必要条件

（4）复数
＝

　　（A）－1　（B）1　（C）－
　（D）

（5）已知
的取值如下表所示：

　从散点图分析，y与x线性相关，且
＝0.95
，则当x＝5时，
的值是

　　（A）7.35　　（B）7.33　　（C）7.03　　（D）2.6

（6）已知
，则集合M的子集的个数是

　　（A）8　（B）16　（C）32　（D）64

（7）若如图1所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是

（A）
3　　（B）
4　　　（C）
5　　　（D）
6

（8）已知
满足不等式
，则函数
取得最大值是

　　（A）12　　（B）9　（C）6　（D）3

（9）在△OAB中，O为直角坐标系的原点，A，B的坐标分别为A（3,4），B（－2，
），向量
与x轴平行，则向量
与
所成的余弦值是

　　（A）－
　（B）
　（C）－
　（D）

（10）已知在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为

　　（A）
　（B）
　（C）
　（D）

（11）设k＝1，2，3，4，5，则
的展开式中
的系数不可能是

　　（A）10　（B）40　（C）50　（D）80

（12）已知A，B，C，D，E是球面上的五个点，其中A，B，C，D在同一圆周上，若E不在A，B，C，D所在圆周上，则从这五个点的任意两点连线中取出2条，这两条直线是异面直线的概率是

　　（A）
　（B）
　（C）
　（D）

二、填空题（20分）

（13）执行图2的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝＿＿＿

（14）已知一个几何体的三视图如图3所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于＿＿＿

（15）已知
，则
的最小值为＿＿＿＿

（16）有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3
，已知球的半径R＝2，则此圆锥的体积为＿＿＿＿

三、解答题

17、（本小题满分12分）

从我市某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下：

（I）请你填写下面的频率分布表：若规定“质量指标值不低于30的产品为合格产品”，则该企业生的这种产品的合格率是多少？

（II）请你估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）。

18、（本小题满分12分）

如图4，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为4，D为CC1中点。

（I）求证：AB1⊥平面A1BD；

（II）求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值。

19、（本小题满分12分）

某社团组织50名志愿者参加社会公益活动，帮助那些需要帮助的人，各位志愿者根据各自的实际情况，选择了两个不同的活动项目，相关的数据如下表所示：

（1）先用分层抽样的方法在做义工的志愿者中随机抽取6名志愿者，再从这6名志愿者中又随机抽取2名志愿者，设抽取的2名志愿者中女性人数为
，求
的数学期望。

（2）如果“宣传慰问”与“做义工”是两个分类变量，那么你有多大把握认为选择做宣传慰问与做义工是与性别有关系的？

20、（本小题满分12分）

如图5，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2
，M为BC的中点。

（I）证明：AM⊥PM

（II）求二面角P－CM－A的余弦值。

21、（本小题满分12分）

某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如下表所示：

已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋。

（I）问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？（要求画出可行域）

（II）若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率。

选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上注明题号．多答按所答的首题进行评分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲。

如图6，△ABC内接于⊙O，AE与⊙O相切于点A，BD平分∠ABC，交⊙O于点D，交AE的延长线于点E，DF⊥AE于点F。

（I）求证：
；

（II）求证：AC＝2AF。

23．（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程。

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的方程为
，直线l的极坐标方程为
－2＝0。

（I）写出C的参数方程和直线l的直角坐标方程；

（II）设l与C的交点为P1，P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程。

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。

设函数
；

（I）当
＝1时，解不等式
；

（II）证明：

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