江西省临川一中、九江一中、新余一中等九校协作体

2016届高三第一次联考

数学（文）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
，则
（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

3．若复数
满足
，则
的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．现有一组样本数据：1，2，2，2，3，3，4，5．则它的中位数和众数分别为（ ）

A．
，2 B．2，2 C．3，2 D．2，3

5．数列
的前
项和
，若
，则
（ ）

A．2 B．5 C．
D．10

7．在区间
上随机取两个数
、
，则其中使函数
在
内有零点的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．执行下图所示的程序框图，则输出的
值为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12

9．如果两个方程的曲线经过若干次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两个方程为“互为镜像方程对”．给出下列四对方程：

①
和
；②
和
；③
和
；④
和

其中是“互为镜像方程对”的有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

10．设关于
的不等式组
表示的平面区域内存在点
满足
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，其直观图如图丙，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和俯视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

12．已知椭圆
的左顶点和上顶点分别为
、
，左、右焦点分别是
，在线段
上有且只有一个点
满足
，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知双曲线
的渐近线方程为
，则其焦距为______．

14．已知两个向量
都是单位向量，其夹角为
，又
，且
，则
______．

15．已知长方体
各个顶点都在球面上，
，
，过棱
作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为______．

16．已知函数
，若对于任意
，都存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是______．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量
，设函数
．又在
中，角
、
、
的对边分别是
，
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，且
．求
边的大小．

18．（本小题满分12分）

为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开两孩政策．为了解适龄国民对放开生育二胎政策的态度，某部门选取70后和80后年龄段的人作为调查对象，进行了问卷调查，其中，持“支持生二胎”、“不支持生二胎”和“保留意见”态度的人数如下表所示：

（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取
个人，其中持“支持”态度的人共36人，求
的值；

（2）在持“不支持”态度的人中，仍用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1个80后的概率．

支持

保留

不支持



80后

780

420

200



70后

120

180

300



19．（本小题满分12分）

如图，梯形
中，
，
，
，将
沿
边翻折，使平面
平面
，
是
的中点，点
在线段
上且满足
．

（1）求证：
平面
；

（2）若
，求点
到平面
的距离．

20．（本小题满分12分）

已知点
是抛物线
的焦点，点
是抛物线
上一点，且
，
的方程为
，过点
作直线
，与抛物线
和
依次交于
．（如图所示）

（1）求抛物线
的方程；

（2）求
的最小值．

21．已知函数
．

（1）若函数
在
上无极值，求实数
的值；

（2）若
，且存在实数
，使得
是
在
上的最大值，求实数
的取值范围；

（3）若不等式
对于任意
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
是
的直径，直线
与
相切于点
，
．

（1）求证：
；

（2）若
，
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），又以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
极坐标方程为：
，直线
与曲线
交于
两点．

（1）求直线
的普通方程及曲线
的平面直角坐标方程；

（2）求线段
的长．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知实数
、
满足：
．

（1）求
的最小值
；

（2）在（1）的条件下，若不等式
对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围．

江西省临川一中、九江一中、新余一中等九校协作体2016届高三第一次联考

数学（文科）试题参考答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．D 7．B 8．C 9．C 10．A 11．A 12．D

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．4 14．
15．5 16．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（1）∵向量
，
，

∴函数
……3分

∵
∴
………………4分

又
∴
………………6分

（2）∵
．

∴
，

解得
……………………12分

18．解：（1）所有参与调查的人数为
．

由分层抽样知
． ……………………5分

（2）由分层抽样知抽取的5人中有2个80后（记为甲、乙），3个70后（记为
、
、
）

则从中任取两个，共有以下10种等可能的基本事件：(甲，乙)、(甲，
)、(甲，
)、(甲，
)、(乙，
)、(乙，
)、(乙，
)、
、
、
， ……………………7分

其中至少有1个80后的基本事件有(甲，乙)、(甲，
)、(甲，
)、(甲，C)、(乙，
)、(乙，
)、(乙，
)共7种． ……………………9分

故至少有1个80后的概率为
……………………12分

19．解：（1）证明：取
中点
，连接

∵
，∴
，且

∵
，且
，∴
，且

∴四边形
是平行四边形，∴
……………………3分

又∵
平面
，
平面

∴
平面
． ……………………5分

（2）设点
到平面
的距离为

∵平面
平面
，且
，∴
平面

又
是
的中点

∴点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离的一半，

即为
． ……………………7分

在
中，由平面
平面
，且
得
平面

∴
，

∴
，故

又
，

∴