非线性图象
将结果直接画出来所得到的图象如果不是直线,仍然可能有个简单的方程式表示变量间的关系。并且,这样的关系式有可能变换成线性关系从而得到直线图解,这种变换步骤数学中称为“变量替换”。实际上,我们不是在改变实验中的物理量,“变量替换”纯属简化运算的数学手段。这点通过验证玻意耳定律的实验会更加清楚。定律的方程式为
PV=k,
其中P是压强,V是体积,k是常量。P-V的图象不是直线,而是双曲线,如图4/6所示。但是,我们作出P-1/V的图象,就得到了关系式的图象,在式中x是1/V,这个图象是斜率为k的直线(图4/7)。数学上将x视为新的变量,但实验中V仍是自变量。变量替换可以使我们计算出k,而从p-V图象中却做不到。
实际问题往往不这么简单,常常是我们并不知道变量间的关系式,而要去找到它。物理学中有许多常见的现象,其实验曲线不可能迅速地表达为一个确切的关系式(有时实验误差使之更难以表达)。这样,往往难以认定曲线所表达的关系是y=x2还是y=x3(如果实验曲线与两者的图象都有些相似的话)。这方面的问题可以简述为“如何设法把一个未知方程的曲线变换成一条直线,从而导出该方程”,当然,我们可以采用反复试验对照的方法,假如我们得到了图4/8所示的通过原点的一条曲线,不妨尝试作出y-x2的图象与之对照,如果失败,可再尝试作出y-x3的图象与之对照……直到满意为止。很明显,这样做既费时又不科学。这里有必要再次求助于教学。如果我们作出Logy-Logx的图象,假定实验曲线的关系式为y=kxm,其中k及m均为未知数,则Logy-Logx的图象就是一条直线,其斜率为x的幂指数m,其截距则为Logk。这是因为:将y=kxm两边取对数,得到
Logy=Logk+mLogx,
即
Logy=mLogx+Logk
若令Y=Logy,C=Logk,X=Logx,则上式就代表直线Y=mx+C,这就更容易得到上述论证。注意到它对于正、负幂指数及分数幂指数均适用,因而是很有效的方法。如对于玻意耳定律就可以这样作曲线。设想一位不知道这个定律的学生,从实验得到如图4/6所示的曲线,他作出LogP-LogV曲线是图4/9所示的直线,可以看出它的斜率是-1,从任一坐标轴上都可以找出截距Logk(因为两个截距是相等的),由此他得到P=kV-1,而且可以知道k的值。这样,通过作出两个图象,问题就得到了解决,这个解答可以由p-1/V图象验证。
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