第五节抛物线及其标准方程

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq

字号：小|大

教学设计示例（一）

教学目标

　　掌握抛物线的定义，会推导抛物线的标准方程，能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程．

教学过程

情境设置

　　我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当时是椭圆，当时是双曲线，那么当时是什么曲线呢？这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线一一抛物线，以及它的定义和标准方程．板书课题“抛物线及其标准方程”．

　　请大家思考两个问题：

　　问题1．同学们对抛物线已有了哪些认识？

　　在物理学中，抛物线被认为是斜抛物体的运动轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图像．

　　问题2．在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴平行于轴，开口向上或开口向下两种情形．

　　如果抛物线的对称轴不平行于轴，那么就不能作为二次函数的图像来研究了．今天我们突破函数研究中的限制，从更一般的意义上来研究抛物线．

　　如图，把一根直尺固定在图板内直线的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘．再把一条钢绳的一端固定于三角板的另一条直角边上的点，截取绳子的长等于到直线的距离，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线，这条曲线就叫做抛物线．

【探索研究】

　　1．抛物线的定义

　　反复演示后可以看出，这条曲线上任意一点到的距离与它到直线的距离相等，请一名学生来归纳抛物线的定义：

　　平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

　　2．抛物线的标准方程

　　设定点到定直线的距离为．

　　下面我们来求抛物线的方程，先让学生根据自己的思考建立坐标系，求出抛物线的方程，教师巡视，从学生的求法中归纳出以下几种方案：

　　方案一：（请一名学生完成）

　　以为轴，过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系（如图8-28），则定点 .

　　设动点，由抛物线定义得：

　　化简后得：

　　方案二：（请一名学生完成）

　　以定点为原点，过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系（如图），则，的方程为 . 设动点，由抛物线定义得：

　　化简后得：

　　方案三：（请一名学生完成）

取过焦点且垂直于准线的直线为轴，轴与交于，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系（如图），则 .

　　的方程为 .

　　设动点，由抛物线定义得

　　化简后得：

　　通过比较可以看出，方案3得出的方程不仅具有较简的形式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的2倍。

　　这个方程叫做抛物线的标准方程，它表示抛物线的焦点在轴的正半轴上，坐标是，准线方程是 .

　　一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表：

图形	标准方程	焦点坐标	准线方程

　　将上表画在小黑板上（或投影胶片上），并讲清为什么会出现四种不同的情况，分析方程的特点。

【例题分析】

　　例题（1）已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程；

　　（2）已知抛物线的焦点坐标是，求它的标准方程。

　　解：（1）因为，，所以焦点坐标是，准线方程是 .

　　（2）因为焦点在轴的负半轴上，并且，，所以抛物线的标准方程是 .

（三）随堂练习

　　1．根据下列条件写出抛物线的标准方程

　　①焦点是；②准线方程是；③焦点到准线的距离是2

　　2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

　　① ② ③ ④

　　3．①抛物线上一点到焦点的距离是，则点到准线的距离是__________，点的横坐标是__________,

　　②抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是_________.

答案：1. ① ② ③

　　2．① ， ② ， .

③ ， ④ ，

　　3．① ② ，

（四）总结提炼

　　抛物线的标准方程有四种形式，（见上表），的意义是表示焦点到准线的距离，因为焦点不在准线上，所以，当定点在定直线上时，到的距离与到的距离相等的点的轨迹是过与垂直的直线，标准方程中前面的正负号决定了抛物线的开口方向。

（五）布置作业

1．准线方程为的抛物线的标准方程是（）

　　A． B． C． D．

2．抛物线的焦点坐标是（）

　　A． B． C． D．

3．经过的抛物线的标准方程为_____________.

4．焦点在直线上的抛物线标准方程为_____________.

5．已知两条抛物线的焦点分别是、，求它们的标准方程。

6．动圆过且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程。

答案：1．B 2．C 3．或 4．或 5．， 6．

（六）板书设计

8.5 抛物线及其标准方程（一）

一、抛物线的定义

二、抛物线标准方程

列表

三、抛物线标准方程推导

四、例题分析

五、练习

六、小结

教学设计示例（二）

教学目标

　　能够熟练利用抛物线的定义解决问题，会求抛物线的焦点弦长．

教学过程

【复习引入】

　　由一名学生回答，教师板书．

　　问题：抛物线的定义是什么？

　　答：平均数面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

　　抛物线的定义不仅反映了抛物线的本质，也为我们解决有关抛物线的问题提供了简捷的方法．

【探索研究】

　　例1 点与点到的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程．

　　解：如图，设点的坐标为

　　由已知条件，“点与点的距离比它到直线 ” 由已知条件，“点M与点F的距离比它到直线的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线的距离”。根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线。

　　因为焦点在x轴的正半轴，所以点M的轨迹方程为。

　　点评：若将条件化为，其中用两点间距离公式表示，再化简得方程，但这种解决的化简过程比较繁琐。

　　例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和的值。

　　由一名学生演板，其他学生练习，然后教师订正，归纳两种方法加以比较，说明运用定义的方法简捷。

　　解法一：设抛物线方程为，则焦点，

　　由题设可得：

　　解得或

　　故抛物线方程为的值为

　　解法二设抛物线方程为，则焦点，准线方程为 .

　　根据抛物线定义，到焦点的距离等于5，也就是到准线的距离等于5，

　　则

　　因此抛物线方程为 .

　　又点在抛物线上，于是 .

　　点评：解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化。

　　例3 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，求线段的长。

　　由一名学生演板，再由另一名学生补充其他解法，教师订正并归纳以下三种解法.

　　如图，由抛物线的标准方程可知，焦点，准线方程 .

　　由题设，直线的方程为： .

　　代入抛物线方程，整理得： .

　　解法一：解上述方程得：，

　　分别代入直线方程得：

　　即坐标分别为、 .

　　解法二：设，，则：

　　解法三：设、 . 由抛物线定义可知，等于点到准线的距离 .

　　即

　　同理

　　点拨：1．解法一利用传统的基本方法求出两点坐标，再利用两点间距离公式求出的长。解法二没有直线求出坐标。而是利用韦达定理找到与的关系，利用直线截二次曲线的弦长公式求得，这是典型的设而不求思想方法比解法一先进，解法三充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊的弦分成两个半径的和，转化为准线的距离，这是思维质的飞跃。