第五节 抛物线及其标准方程
典型例题(例1~例4)
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程.
(1) (2)
分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p,再写出焦点坐标和准线方程.
(2)先把方程化为标准方程形式,再对a进行讨论,确定是哪一种后,求p及焦点坐标与准线方程.
解:(1) ,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:
(2)原抛物线方程为: ,
①当 时, ,抛物线开口向右,
∴焦点坐标是 ,准线方程是: .
②当 时, ,抛物线开口向左,
∴焦点坐标是 ,准线方程是: .
综合上述,当 时,抛物线 的焦点坐标为 ,准线方程是: .
例2 若直线 与抛物线 交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.
分析:由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法”求k.
解法一:设 、 ,则由: 可得:
∵直线与抛物线相交, 且 ,则
∵AB中点横坐标为:
解得: 或 (舍去)
故所求直线方程为:
解法二:设 、 ,则有
两式作差解: ,即
故 或 (舍去)
则所求直线方程为:
例3 求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.
分析:可设抛物线方程为 .如图所示,只须证明 ,则以 AB为直径的圆,必与抛物线准线相切.
证明:作 于 于 .M为AB中点,作 于 ,则由抛物线的定义可知:
在直角梯形 中:
,故以AB为直径的圆,必与抛物线的准线相切.
说明:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.
例4(1)设抛物线 被直线 截得的弦长为 ,求k值.
(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标.
分析:(1)题可利用弦长公式求k,(2)题可利用面积求高,再用点到直线距离求P点坐标.
解:(1)由 得:
设直线与抛物线交于 与 两点.则有:
,即
(2) ,底边长为 ,∴三角形高
∵点P在x轴上,∴设P点坐标是
则点P到直线 的距离就等于h,即
或 ,即所求P点坐标是(-1,0)或(5,0).
典型例题(例5~例8)
例5 已知定直线l及定点A(A不在l上),n为过A且垂直于l的直线,设N为l上任一点,AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证P的轨迹为抛物线.
分析:要证P的轨迹为抛物线,有两个途径,一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义,二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程,可先用第一种方法,由A为定点,l为定直线,为我们提供了利用定义的信息,若能证明 且 即可.
证明:如图所示,连结PA、PN、NB.
由已知条件可知:PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P.
∴AN也垂直平分PB.则四边形PABN为菱形.即有 .
则P点符合抛物线上点的条件:到定点A的距离与到定直线的距离相等,所以P点的轨迹为抛物线.
例6 若线段 为抛物线 的一条焦点弦,F为C的焦点,求证: .
分析:此题证的是距离问题,如果把它们用两点间的距离表示出来,其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义,巧妙运用韦达定理,也可以用抛物线的定义与平面几何知识,把结论证明出来.
证法一: ,若过F的直线即线段 所在直线斜率不存在时,
则有 , .
若线段 所在直线斜率存在时,设为k,则此直线为: ,且设 .
由 得:
①
②
根据抛物线定义有:
则
请将①②代入并化简得:
证法二:如图所示,设 、 、F点在C的准线l上的射影分别是 、 、 ,且不妨设 ,又设 点在 、 上的射影分别是A、B点,由抛物线定义知,
又 ∽ ,
即
故原命题成立.
例7 设抛物线方程为 ,过焦点F的弦AB的倾斜角为 ,求证:焦点弦长为 .
分析:此题做法跟上题类似,也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.
证法一:抛物线 的焦点为 ,
过焦点的弦AB所在的直线方程为:
由方程组 消去y得:
设 ,则
又
即
证法二:如图所示,分别作 、 垂直于准线l.由抛物线定义有:
于是可得出:
故原命题成立.
例8 已知圆锥曲线C经过定点 ,它的一个焦点为F(1,0),对应于该焦点的准线为 ,过焦点F任意作曲线C的弦AB,若弦AB的长度不超过8,且直线AB与椭圆 相交于不同的两点,求
(1)AB的倾斜角 的取值范围.
(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点,求CD中点M的轨迹方程.
分析:由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线,AB为抛物线的焦点弦,设其斜率为k,弦AB与椭圆相交于不同的两点,可求出k的取值范围,从而可得 的取值范围,求CD中点M的轨迹方程时,可设出M的坐标,利用韦达定理化简即可.
解:(1)由已知得 .故P到 的距离 ,从而
∴曲线C是抛物线,其方程为 .
设直线AB的斜率为k,若k不存在,则直线AB与 无交点.
∴k存在.设AB的方程为
由 可得:
设A、B坐标分别为 、 ,则:
∵弦AB的长度不超过8, 即
由 得:
∵AB与椭圆相交于不同的两点,
由 和 可得: 或
故 或
又 ,∴所求 的取值范围是: 或
(2)设CD中点 、 、
由 得:
则 即 .
化简得:
∴所求轨迹方程为: