第五节 随机事件的概率

教学设计方案一

10．5随机事件的概率 第一课时

教学目标：

　　初步了解随机事件及其概率的意义，了解随机事件的发生存在着规律性．

教学过程：

[设置情景]

　　　　1名数学家＝10个师

　　在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历．

　　1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．

　　为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后分析，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性．一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大．

　　美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．

　　在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象．如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．

　　确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比较容易掌握它．而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点．

　　随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件．

　　本单元就是用数量关系来研究、刻画随机现象的．

　　[探索研究]

　　1．随机事件

　　（出示投影）下列哪些是随机事件？

　　（1）导体通电时发热；

　　（2）某人射击一次，中靶；

　　（3）抛一石块，下落；

　　（4）在常温下，焊锡熔化；

　　（5）抛一枚硬币，正面朝上；

　　（6）在标准大气压下且温度低于 时，冰融化．

　　由一名学生回答，然后教师归纳：

　　在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．

　　可让学生再分别举一些例子．

　　2．随机事件的概率

　　由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性．但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复试验中，它却呈现出一种完全确定的规律性．

　　例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表（出示投影）

抛掷次数（ ）	正面向上次数（频数 ）	频率（ ）
2048	1061	0.5181
4040	2048	0.5069
12000	6019	0.5016
24000	12012	05005
30000	14984	0.4996
72088	36124	0.5011

　　我们可以看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它左右摆动．

　　一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 的概率，记做 ．

　　对于概率的统计定义，教师应说明以下几点：

　　（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；

　　（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件 的概率；

　　（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；

　　（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；

　　（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此 ．

　　3．例题分析

　　例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？

　　（1）若 都是实数，则 ；

　　（2）没有空气，动物也能生存下去；

　　（3）在标准大气压下，水在温度 时沸腾；

　　（4）直线 过定点 ；

　　（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；

　　（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球．

　　（由学生口答，答案：（1）（4）是必然事件；（2）（3）是不可能事件；（5）（6）是随机事件．）

　　例2对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：

抽取台数	50	100	200	300	500	1000
优等品数	40	92	192	285	478	954

　　（1）计算表中优等品的各个频率；

　　（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？

　　（由一名学生板演后，教师纠正）

　　解：（1）各次优等品的概率为

　　 0.8， 0.92， 0.96， 0.95， 0.956， 0.954

　　（2）优等品的概率是0.95．

　　[反馈练习]

　　1．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

　　（1）计算表中击中靶心的各个频率；

　　（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

　　（由一名学生板演后，教师讲解）

　　2．问答：

　　（1）试举出两个必然事件和不可能事件的实例；

　　（2）不可能事件的概率为什么是0？

　　（3）必然事件的概率为什么是1？

　　（4）随机事件的概率为什么是小于1的正数？它是否可能为负数？

　　[参考答案]

　　1．解：（1）击中靶心的各个频率依次是：0.9，0.95，0.88，0.91，0.89，0.902

　　（2）这个射手击中靶心的概率约为0.90．

　　2．略．

　　[总结提炼]

　　1．随机事件的概念

　　在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．

　　2．随机事件的概率的统计定义

　　在大量重复进行同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 的概率．

　　3．概率的性质： ．

布置作业：

　　1．课本上P114练习1，3．

　　2．上抛一个刻着1，2，3，4，5，6字样的正六面体方块；

　　（1）出现字样为“5”的事件的概率是多少？

　　（2）出现字样为“0”的事件的概率是多少？

板书设计：

教学设计方案二

10．5　随机事件的概率 第二课时

教学目标：

　　通过等可能性事件的概率的讲解，得到一种较简单、较现实的计算随机事件的概率的方法．

教学过程：

　　【设置情境】

　　两位同学各自进行一次抛掷硬币的实验，在抛掷1000次的情况下，统计一下出现国徽面向上的次数m，然后再计算 ，以求得抛掷硬币事件的统计概率，再把两位同学得出的结果作一比较．

　　师问：每位同学得到的结果是否接近于同一个小于1的正数0.5？你们是否已经感受到计算随机事件概率的繁琐性？大量重复的试验是否可以避免？

　　【探索研究】

　　1．等可能性事件的意义

　　对于满足下面特点的随机事件叫做等可能性事件：

　　（1）对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果．

　　（2）对于上述所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的．

　　随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值，但对于等可能性事件就可以不通过重复试验，而只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率．

　　例如，掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果有：

　　正面向上，反面向上

　　这2个．由于硬币是均匀的，可以认为出现这两种结果的可能性是相等的，即可以认为出现“正面向上”的概率是 ，出现“反面向上”的概率也是 ，这与前面表中提供的大量重复试验的结果是一致的．

　　2．等可能性事件的概率的计算方法（概率的古典定义）

　　一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．

　　如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为：

　　从集合角度看，事件A的概率可解释为子集A的元素个数与全集I的元素个数的比值，即：

　　等可能性事件的概率可以用上面的公式计算．

　　例1  一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6六个数，将这个正方体玩具先后抛掷2次．

　　计算：（1）一共有多少种不同的结果？

　　　　　（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？

　　　　　（3）向上的数之和是5的概率是多少？

　　解：（1）将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数有6种结果，根据分步计数原理，先后将这种玩具抛掷2次，一共有：

6×6＝36

　　种不同的结果．

　　（2）在上面的结果中，向上的数之和是5的：

　　（1，4）  （2，3）  （3，2）  （4，1）4种．

　　（3）由于正方体玩具是均匀的，所以36种结果是等可能出现的，记“向上的数之和是5”为事件A，则：

　　教师点评：此例反映了计算等可能性事件的概率的方法与步骤．

　　例2  现有数学、语文、英语、物理和化学书各1本，从中任取1本．求取出的是理科书的概率．

　　解：因为有数学、语文、英语、物理和化学书各1本，共5本书，所以从中任取回本书有5种结果；

　　又因为理科书有数学、物理、化学书各1本，共3本，从中取出的书是理科书有3种结果．

　　记“取出理科书”为事件A，则

　　由此归纳出计算等可能性事件的概率的步骤（由学生归纳，教师补充）：

　　（l）计算所有基本事件的总结果数n．

　　（2）计算事件A所包含的结果数m．

　　（3）计算

　　【演练反馈】

　　1．若两个袋内分别装有写着0，l，2，3，4，5这六个数字的6张卡片，从每个袋内各任取1张卡片，求所得两数之和等于5的概率．

　　（由一名学生板演后，教师讲解）

　　2．有分别写有1，2，3，…，50号的扣张卡片，从中任取1张，计算：

　　（1）所取卡片的号数是3的倍数的有多少种情况？

　　（2）所取卡片的号数是3的倍数的概率．

　　（由一名学生板演后，教师讲解）

　　3．已知在20个仓库中，有14个仓库存放着某物品，现随机抽查5个仓库，求恰好2处有此物品的概率．

　　【参考答案】

　　1．解：记“所得两数之和等于5”为事件A．

　　先计算基本事件的总结果数n＝6×6＝36；

　　然后计算事件A包含的结果数m．两数之和等于5的有序数对有（0、5），（1、4），（2、3），（3、2），（4、l），（5、0）

　　∴ ；

　　再计算事件A的概率

　　2．解：（1）由

　　得n＝16

　　则所取卡片的号数是3的倍数的有16种情况．

　　（2）记所取卡片的号数是3的倍数”为事件A，则

　　3．解：

　　【总结提炼】

　　通过计算等可能性事件的概率，可以看出 既是等可能性事件的概率的定义，又是计算这种概率的基本方法．根据这个公式计算时，关键在于求出n、m．在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的；在求m时，可采用分析法，也可结合图形采取枚举法数出部A发生的结果数．当n较小时，这种求事件的概率的方法是常用的．

　　布置作业：

　　1．课本P120习题10．5   2，3．

　　2．某人午觉醒来，发觉表停了．他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间短于10分种的概率．

【参考答案】1．略；2．

板书设计：

教学设计方案三

10．5随机事件的概率 第三课时

教学目标：

    等可能性事件的概率的计算公式为 ，但是通过枚举法数出n、m往往不太现实，通过本节课的学习，掌握用组合知识来计算n、m．从而得到等可能性事件的概率．

    教学过程：

    【设置情境】

    （投影）例1  在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，计算：

    （1）2件都是合格品的概率；

    （2）2件都是次品的概率；

    （3）l件是合格品，1件是次品的概率．

    师问：本题中的所有结果n是多少，它通过枚举法来数是否方便？

    【探索研究】

    1．解答例1

    根据组合的有关知识，试验中的结果种数可以用组合数来表示．如：从100件合格品中任取2件，可能出现的结果为 种，从95件合格品中取到2件的结果为 种，所以例1的解法如下：

    解：从100件产品中任取2件，可能出现的结果为 种．

（l）从95件合格品中取到2件的结果为 种，记“任取2件都是合格品”为事件 ，则

（2）从5件次品中取到2件的结果为 种，记“任取2件都是次品”为事件 ，则

（3）取到1件合格品、1件次品的结果为 种，记“任取2件，l件是合格品，l件是次品”为事件 ，则

    2．分析例2

    例2  一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．

    （1）共有多少种不同的结果？

    （2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？

    （3）摸出2个黑球的概率是多少？

解：（1）从装有4个球的口袋内摸出2个球，共有：

种不同的结果．

（2）从3个黑球中摸出2个球，共有：

种不同的结果．

（3）由于口袋内4个球的大小相等，从中摸出2个球的6种结果是等可能的，所以从中摸出2个黑球的概率：

    【演练反馈】

    1．某企业一个班组有男工7人，女工4人．现要从中选出4个职工代表，求4个代表中至少有一个女工的概率．

    （由一名学生板演后，教师讲评）

    2．外形相同的电子管100只，其中A类40只，B类30只，C类30只．在运输过程中损坏了3只，如果这100只电子管中，每只损坏的可能性相同．试求这3只中，每类恰有1只的概率．

    （由一名学生板演后，教师订正）

    3．n个同学随机坐成一排，求其中甲、乙坐在一起的概率．

    【参考答案】

1．解：从11个人中选出4人可能出现的结果为 种；从11个人中选出4人至少有一个女工的结果数为 ，记“至少有一个女工代表”为事件A，则

    2．解：从100只电子管中任取3只可能出现的结果为 种

损坏的3只中每类恰有1只的结果为 种，记“损坏的3只中每类各1只”为事件A，则：

3．解：

【总结提炼】

计算等可能性事件的概率时，常用到组合的知识和方法，要理解组合的概念，熟悉组合数的计算。

布置作业：课本P120习题10．5  4，5，7。

板书设计：

教学设计方案四

10．5 随机事件的概率 第四课时

教学目标：

　　熟练用排列知识去求n、m，继而算出等可能性事件的概率。

教学过程：

【设置情境】

　　（投影）例1  从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，任取4个组成没有重复数字的四位数，求：

　　（1）这个四位数是偶数的概率；

　　（2）这个四位数能被5整除的概率．

　　师问：计算等可能性事件的概率，必需先计算n、m，在上两节课中，我们分别用枚举法和组合知识进行计算，在此题中“任取4个组成没有重复数字的四位数”以及“是偶数的四位数”等，它们的个数可以用枚举法数出来吗？可以用组合知识得到吗？应该怎么办？

【探索研究】

　　例1  分析：枚举法或应用组会知识可以计算出n、m．同样用分步计数原理或者排列的有关知识也可以得到n、m，在此题中由0，1，2，3，4，5，6这七个数任取4个组成没有重复数字的四位数的个数可以用排列来计算为 ．

　　解：组成四位数的总结果数为

　　（1）组成四位偶数的结果数为 ，所以这个四位数是偶数的概率

　　（2）组成能被5整除的四位数的结果数为 ，所以这个四位数能被5整除的概率

　　例2  分配5个人担任5种不同的工作，求甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作的概率．

　　解：5个人担任5种不同工作的结果数为 ；甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作的结果数为 ，故满足条件的概率是

　　例3  储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这十个数字中选取．

　　（l）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率只有多少？

　　（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？

　　解：（1）由于储蓄卡的密码是一个四位数字号码，且每位上的数字有0到9这10种取法．根据分步计数原理，这种号码共有 个．又由于随意按下一个四位数字号码，按下其中哪一个号码的可能性都相等．所以正好按对这张储蓄卡的密码的概率

　　（2）按四位数字号码的最后一位数字，有10种按法．由于最后一位数字是随意按下的，按下其中各个数字的可能性相等．所以按下的正好是密码的最后一位数字的概率

【演练反馈】

　　1．一栋楼房共有4个单元，甲、乙、丙三户都住在这个楼内．求甲、乙、丙三户同住一个单元的概率．

　　（由一名学生板演后，教师讲评）

　　 2．在电话号码中后五个数全不相同的概率为多少？

　　3．将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一个盒来说，所放的球数k满足 ．在各种放法的可能性相等的条件下，求：

　　（1）第一个盒没有球的概率；

　　（2）第一个盒恰有1个球的概率；

　　（3）第一个盒恰有2个球的概率；

　　（4）第一个盒有1个球，第二个盒恰有2个球的概率．

　　（学生思考后，教师分析讲解）

［参考答案］

　　1．解：甲、乙、丙三户住这栋楼房4个单元的总结果数为 ，甲、乙、丙都住同一单元的结果数为 ．所以他们同住一个单元的概率：

　　2．解：

　　3．解：4个不同的球放入3个不同的盒中的放法共有 种．

　　（l）第一个盒中没有球的放法有 种，所以第一个盒中没有球的概率为：

　　（2）第一个盒中恰有1个球的放法有 种．所以第一个盒中恰有1个球的概率为：

　　（3）第一个盒中恰有2个球的放法有 种，所以第一个盒中恰有2个球的概率为：

　　（4）第一个盒中恰有1个球，第二个盒中恰有2个球的放法有 种，所以所求的概率：

【总结提炼】

　　从以上等可能性事件的概率的计算中可以看到，排列、组合知识得到了充分的运用，因此，排列、组合知识是概率的基础，概率是排列、组合知识的又一应用。

布置作业：课本P120习题10．5  8，9，10，11。

板书设计：