第一节 提公因式法

典型例题

例1. 判断下列几个变形是否为因式分解的结果？

   　　（1） ；            　　　　　　（2） ；
  　　（3） ； （4）
　　解：
　　（1）由因式分解的概念可知，因式分解是针对多项式进行的，而 是单项式，其本身是数字与字母的乘积形式，故不存在的因式分解问题，所以不是因式分解。
　　（2）因式分解的结果是整式乘积的形式，而等号右边不满足，因此也不是因式分解。
　　（3）由于3是各式中的公因数，也应当提到括号外边，所以因式分解没有做完。
　　（4）在多项式 中，第三项 ，可看成系数是1，即 的形式，当 被提出后，此项还应剩下1，而不是零，故因式分解也不对。
　　点拨：
　　（1）因式分解是针对多项式而言的，其分解结果必须是整式的乘积形式；
　　（2）一般地，提取公因式后，括号内的多项式必须满足：①再无公因式可提；②其项数和原多项式的项数相同。

例2 把下列各式分解因式：
　　（1） ；　　         （2）
　　分析：先找出多项式的公因式，把各项写成公因式与一个单项式的乘积的形式，再把公因式提到括号外面．
　　解：（1）

      

       ；

   　　　　（2）





    　　点拨：
　　（1）当多项式的首项系数为负时，则取系数是负数的公因式；
　　（2）提出系数为负数的公因式时，需把留在括号内的多项式的各项都变号．

例3 把下列各式分解因式：
  　　（1） ；
　　（2）
分析：把 ， 看成是一个整体来考虑．

　　解：（1）

     ；

   　　　　（2）





　　点拨：
　　（1）“把 ， 看成是一个整体”，体现了换元思想的应用；
　　（2）公因式可以是单项式，可以是多项式，也可以是单项式与多项式的乘积，注意看清（2）题中公因式是由单项式 和多项式 的乘积构成，要一次提出，以免漏提。

例4 把下列各式分解因式：
　　（1） ；      　　（2）
分析：式中 与 ， 和 互为相反数，于是有

， ，

　　由此可将多项式转化成含有公因式的形式。

　　解：（1）

      

       ；

   　　　　（2）





 ；

　　或者
　　　

  

  

  

　　点拨：
　　（1）对表面上没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化成含有公因式的式子来完成因式分解是一项基本技巧。其一般原则是：①首项一般不化成含负号的形式；②对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化为它的相反数的形式，这样可使多项式各项的符号不变。
　　（2）提公因式后，当括号中的某项为1时，不要漏掉此项。

例5 计算：
　　（1） ；

   　　（2）

　　解：

  

   ；　

   　　（2）









　　点拨：用提公因式法可简化一些运算。