第一节 提公因式法

教学重点和难点：

重点:
　　因式分解的概念和提公因式法.
难点:
　　理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式.

教学建议：
一、教材分析

1．知识结构：因式分解（一）



2．重点、难点分析
（1）了解因式分解的意义。
　　1)        因式分解是多项式的一种变形.
　　我们曾经学习过多项式的运算.多项式的运算是两个多项式间根据运算的法则,进行加 、减、乘、除等运算,计算出表示和、差、积、商的多项式.在这个意义上说,多项式的因式分解就不是一种运算,而是把多项式转换成另一种形态—即整式的乘积的形态;所以,我们只能说,因式分解是一种多项式的变形.如,多项式 与 作乘法运算,得

                    ,这是一个多项式的乘积运算过程;反过来,对多项式 作因式分解,就有
 =  ,

　　就是把 转变成 与 的乘积的形态,这就是一种变形.我们把这种变形,叫做因式分解.
　　   所以,虽然变形前后保持相等关系,但变形的方向不同,变形的意义也不同,它使我们对相等关系又有了新的理解:

它使我们对乘法公式又有了新的认识.
　　2)      因式分解的结果必须是整式的乘积.
　　根据因式分解的意义,作为多项式作因式分解的变形结果,必须是几个整式的乘积,而不是其他形式的整式.
　　如,对 作下面的变形:

                         = ,

　　由于它的变形结果是 与 的和,而不是整式的乘积,因而这个变形并不是因式分解.又如  

           

　　由于变形结果是 与 的差,所以也不是因式分解.
(2)    怎么认识公式



　　中的字母 ?

 看作一个多项式， 就是这个多项式各项都包含的一个因式，所以我们把它叫做公因式，如三项式
　　       

的各项都包含因式 ，于是就可以把这个多项式写为
这字母 就表示的是公因式 ，于是就可把它提到括号外面而得到
                         .
公因式 是怎样确定的?
　　事实上,公因式的确定可以按照下面的步骤进行:
　　1)      公因式的系数是多项式各项系数的绝对值的最大公约数;如上例中各项的系数的绝对值是6, ,12,最大 公约数是3,所以公因式的系数是3;
　　2)      公因式的字母部分是由各项都含有的字母的幂组成的;如上例中公因式 的字母部分是以 为底的幂组成的,由 不是各项都包含的字母,所以公因式中不包含的以 为低的幂;
　　3)      在相同字母为底的幂中,选取次数最底的;如上例中, 都是相同底数的幂中次数最低的.
       　　有时,可以把一个多项式看作另一个多项式各项的公因式.如对整式
 ,
　　若暂时把 看作一个字母 ,这个式子就可以看作 ,它就是有公因式 的二项式.所以,按照换元的思想,就可以把这个多项式看作二项式,公因式是 ,于是得



   　　　　　= .

　　又如,把 看作一个字母,公因式是 ,就有

                         

                        　　　=

                        　　　= .

(3)              应随时注意提公因式法的分解变形在计算问题中的应用.
　　有这样一个问题:某车间加工三块矩形钢板,他们的长分别是1.28米,1.64米2.08米,宽都是0.25米,如果每平方米钢板价40元,共计多少元?
　　列出的算式是(1.28 0.25+1.64 0.25+2.08 0.25) 40.
　　按这个式子作计算,将是
　　　　原式=(0.32+0.41+0.52) 40
   　　　　　　=1.25 40
   　　　　　　=50(元).
　　但是,如果运用提公因式分解,再计算,得
　　0.25 40 (1.28+1.64+2.08)=10 5=50(元).
　　可见,提公因式的变形,有时对简化运算也是起着重要作用.所以,在今后的学习中,应注意学会及时应用.

二、教法建议
　　1．因式分解与整式运算是不同的整式变形，概念的引入应着重引导学生观察变形的特点，理解变形的意义，还应随时回忆这一概念、运用这一概念、巩固这个概念，而不要希望一蹴而就．
　　2．在运用各种方法因式分解时应重视培养学生的观察能力，在教学中应给学生以足够的时间观察，并充分交流观察的结果，汇报观察结果后而采取对策，而不应让学生模仿例题，只有在这种观察的实践活动中，才能培养学生的观察能力，才能训练学生选择正确的解题对策．
　　3．在因式分解中换元思想起着重要的作用，公因式m既可以是单项式，又可以是多项式，公式法中的a，b……也可以表示任何一个代数式．本章运用换元法这一重要的数学思想方法也是为今后的代数学习打下良好的基础．
　　4. 提取公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法，它的理论依据是乘法分配律．在讲解时可以先讲单项式乘以多项式，再把它逆过来运算就是提取公因式，用这个方法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关重要的．