第二节 运用公式法

典型例题

一、用平方差公式分解因式的题目（体会换元思想）

例1 把下列各式分解因式：

   （1） ；         （2）

解：（1） 可以看作是 ， 可以看作是 ，则

；

   （2） 可以看作是 ，则

                    

点拨：（1）把 看作是 是逆用了幂的乘方公式 ，也就是运用了公式 ，而把 看作 ， 看作 是逆用了积的乘方公式 ，而灵活运用公式是解题中所必须掌握的基本技巧。

   （2）平方差公式中的 可以是数、字母或数与字母的乘积，在此进一步体现了换元思想的应用。

    例2 把下列各式分解因式：

   （1） ；       （2）

解：（1）把 和 分别看作平方差公式中的 和 ，于是

   

 

  ；

（2）由于 ， ，所以 和 分别看作平方差公式中的 ，于是

   

 

 

点拨：利用换元思想，使平方差公式的使用范围更加广泛，公式中的 不仅可以是单项式、多项式，也可以是单项式与多项式的乘积。

例3 把下列各式分解因式：

   （1） ；       （2） ；

分析：多项式中有公因式，先提出来。

解：（3）

                   ；

   （2）





点拨：（1）提取公因式后可使括号内的多项式化简，所以在对多项式进行因式分解时，提公因式是首先要进行的步骤；

   （2）分解因式是在有理数范围内进行的，其结果是在有理数范围内不能再继续分解为止，如 ；

   （3）有些多项式需多种方法，多个分解步骤才可完成分解，因此，第一要养成随时检查多项式能否再继续分解的解题习惯；第二要善于综合运用各种方法作因式分解，提高解题能力。

例4 已知 和 满足方程组 ，求代数式 的值。

解法1：解方程 得

将 ， 代入 得

          

解法2：

由②得 ……③

∴

            

点拨：解法一是最基本的方法，容易想到，但计算较繁。解法二利用了分解因式的知识，比较巧妙，但不容易想到。所以，要想解题又快又准，必须熟练掌握所学过的知识，提高综合运用知识的能力。

二、用完全平方公式分解因式的题目

例1 把下列各式分解因式：

   （1） ；         （2）

   （3）

解：（1）由于16可以看作 ，于是有

                                   ；

   （2）由幂的乘方公式， 可以看作 ， 可以看作 ，于是有

                                   ；

   （3）由积的乘方公式， 可以看作 ，于是有

  



点拨：（1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：①可以看成是关于某个字母的二次三项式；②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；③其余的一项恰是这两数乘积的2倍，或这两数乘积2倍的相反数。而结果是“和”的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同。

   （2）在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用。

例2 把下列各式分解因式：

   （1） ；         （2）

解：（1）先将平方项的系数转化为正数，于是有

 



 ；

   （2）先提出公因式6，于是有











点拨：（1）在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号。

（2）多项式若有公因式，则先考虑提取，使多项式简化，以便观察分解策略。

例3 若 是一个完全平方公式，那么 的值应该是（   ）

（A）8     （B）16      （C）－16   （D）16或－16

答（D）因为完全平方式是可以化为形如 或 的形式的多项式，故 既然是完全平方式，就可将它化为 或 ，将 ， 展开与 比较对应项系数可得 或－16。