第三节 垂直于弦的直径

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怎样测得公路的弯道的半径

　　无论铁路或公路，在转弯的时候，都是用弯度不大的曲线缓缓地转，而不是成一个急剧的角度突然改变方向的.这转弯处的曲线，一般恰好是和这段路两端直线部分相切的圆的一段弧线.道路转弯处的半径，一般都很大，铁路上的弯路的半径不小于600米；在主要铁路干线，最常见的弯路半径是1000甚至2000米.那么我们能否测得这些弯道的半径呢？

　　要测得这些弯道的半径，不象求那画在纸上的弧线半径那么方便.在图上做起来很简单：只要作出两条任意的弦，从它们的中点各作一条垂线；两条垂线的交点就是这段圆弧的中心；从这点到曲线上任何一点的长度就是所求的半径长度了.    

　　但是，在实地上想要这样来作图当然很不方便，因为道路曲线的中心远在这个转弯处1—2公里以外，常常无法到达.当然，我们些可以把题目画到纸上，然后求解，但是要把这段弯路的曲线绘到图上，也并不是一件简单的工作.

　　假如我们不用制图的方法，而直接计算半径，这一切困难就都迎刃而解了.这可以采用下面的方法.设想把这段AB圆弧绘成一个完全的圆形（如图）；把这弧线上任何两点C和D连接起来，量出弦CD的长度，以及弓形CED的高，利用垂径定理和勾股定理，就不难算出所求的半径的长度.我们把CD和圆的直径看成相交的两条弦，a表示CD弦的长度，用h表示弓形CED的高，用R表示半径，有直角三角形CFO得出：

　　 ，解得： .

　　半径的长度计算出来之后，再知道弯路曲线的圆心是位在通过弦的中点的垂线上，你就可以大约地找出这段弯路曲线的圆心的所在地.

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